2017-01-15
На стержне с пренебрежимо малой массой укреплены $n_{0}$ шаров с последовательно возрастающими массами от $m$ до $n_{0}m$, где $m = 1 кг$, так, что их центры находятся на равном расстоянии $l$ друг от друга. В каком месте нужно подпереть стержень, чтобы система была в равновесии?
Решение:
Предположим, что центр масс системы отстоит от левого конца стержня на расстояние $x$ (рис.). Если в этом месте поместить опору, он будет находиться в равновесии. При этом сила реакции опоры $\vec{N}$ по модулю будет равна сумме модулей всех сил тяжести, действующих на шары:
$N = (1 + 2 + \cdots + n_{0})mg = \frac{n_{0}(n_{0}+1)}{2} mg$. (1)
Запишем условие равенства моментов всех сил тяжести и силы реакции опоры относительно точки О, отстоящей от левого конца стержня на $l$:
$N (l + x) = l (1^{2} + 2^{2} + \cdots + n_{0}^{2})mg = l \frac{n_{2}(n_{0} + 1)(2n_{0} + 1)}{6} mg$. (2)
С помощью выражения (1) для $N$ находим из (2):
$x = l \left ( \frac{2n_{0} + 1}{3} - 1 \right ) = \frac{2}{3} l(n_{0} - 1)$. (3)
Поскольку произведение $l(n_{0} - 1)$ равно длине стержня $l$, то центр масс расположен на расстоянии $(2/3)L$ от левого конца системы при любом числе шаров $n_{0}$.
Отметим, что точка, относительно которой записывалось условие равенства моментов, была выбрана таким образом, чтобы в правой части выражения (2) получалась сумма квадратов, для которой существует простая формула суммирования. Если выбрать другую точку, например левый конец стержня, то выкладки окажутся чуть длиннее:
$Nx = l[2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots + n_{0}(n_{0} - 1)] mg$. (4)
Сумму в квадратных скобках в (4) можно дополнить до суммы квадратов, прибавляя и вычитая недостающие члены:
$[2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots + n_{0}(n_{0} - 1)] = \left ( 1^{2} + 2^{2} + \cdots + n_{0}^{2} - 1 - 2 - \cdots - n_{0} \right ) = \frac{n_{0}(n_{0} + 1)(2n_{0} + 1)}{6} - \frac{n_{0}(n_{0} + 1)}{2} = \frac{n_{0}(n_{0} + 1)}{2} \cdot \frac{2}{3} (n_{0} - 1)$.
После подстановки этого выражения и величины $N$ из (1) в (4), получим значение $x$, соответствующее (3).
Ответ: стержень нужно подпереть на расстоянии $(2/3)L$ от легкого конца стержня.