2017-01-15
Однородная балка массой $m$ и длиной $l$ лежит на двух опорах горизонтально. На балку действуют заданные силы $F_{1}, \cdots, F_{n}$, направленные вертикально вниз. Точки приложения сил известны. Определить силы давления балки на опоры (см. рис.).
Решение:
Все действующие на балку силы, включая силы реакции опоры $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, направлены вертикально (рис.). Поэтому равенство нулю векторной суммы всех сил записывается в виде
$F_{1} + F_{2} + \cdots +F_{n} + mg - N_{1} - N_{2} = 0$. (1)
Второе уравнение для определения неизвестных сил $N_{1}$ и $N_{2}$ можно получить, рассматривая условие равновесия моментов всех сил, например, относительно точки, в которой приложена сила $\vec{N}_{1}$. При этом в уравнении будет присутствовать только сила $\vec{N}_{2}$
$F_{1}l{1} + F_{2}l_{2} + \cdots + F_{n}l_{n} + mg \frac{l}{2} = N_{2}l$. (2)
Определив $N_{2}$ из (2), можно выразить $N_{1}$ из (1). Можно получить $N_{1}$ и из уравнения равновесия моментов относительно точки приложения силы $\vec{N}_{2}$. Это уравнение является следствием равенств (1) и (2). В самом деле, умножив каждый член уравнения (1) на $l$ и вычитая из него левую и правую части (2), получаем:
$F_{1}(l - l_{1}) + F_{2}(l - l_{2}) + \cdots + F_{n}(l - l_{n}) + mg \frac{l}{2} = N_{1}l$. (3)
Но это как раз уравнение моментов относительно точки приложения силы $N_{2}$.