2017-01-15
На горизонтальной поверхности стоит куб. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он опрокинулся без проскальзывания, если коэффициент трения равен $\mu$? Масса куба $m$.
Решение:
Максимальное возможное плечо силы $\vec{F}$ относительно точки А (рис.) равно длине ребра куба $l$. Поэтому минимальная сила, которая может опрокинуть куб, равна $mg/2$ и направлена горизонтально. Для того, чтобы под действием этой силы куб не скользил по поверхности, необходимо, чтобы она не превосходила силы трения $\mu mg$, т. е. чтобы коэффициент трения $\mu$ был больше 1/2. Если $\mu < 1/2$, то для того, чтобы не было проскальзывания, нужно прикладывать силу под некоторым углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Куб не будет скользить по поверхности, если
$F \cos \alpha \geq \mu (mg + F \sin \alpha)$. (1)
При опрокидывании куба минимальной силой должно выполняться равенство нулю суммы моментов всех действующих на него сил относительно точки А:
$Fl \cos \alpha - mg \frac{l}{2} = 0$. (2)
Подставляя $F$ из (2) в (1) получим
$tg \alpha \geq \frac{1 - 2 \mu}{ \mu}$, (3)
причем минимальной силе отвечает знак равенства в (3). Теперь из (2) можно найти саму силу $F$, воспользовавшись тождеством: $1 + tg^{2} \alpha = 1/ \cos^{2} \alpha$. Имеем:
$F = \frac{mg}{2 \cos \alpha} = \frac{mg}{2 \mu} \sqrt{ 5 \mu^{2} - 4 \mu +1 }$.
Ответ: если $\mu > 1/2$, то $F = mg/2, \alpha = 0$.
Если $\mu \leq 1/2$, то $F = \frac{mg}{2 \mu} \sqrt{5 \mu^{2} - 4 \mu + 1}, \alpha = arctg \frac{1 - 2 \mu}{ \mu}$.