Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2091
2017-01-15 
При разрыве снаряда, летящего со скоростью $v = 800 м/с$, образовалось три осколка с равными массами $m = 20 кг$. Суммарная кинетическая энергия всех осколков $T = 2,9 \cdot 10^{7} Дж$. Какую наибольшую скорость $V$ может приобрести один из осколков? Вращением осколков пренебречь.
Решение:
Ответ: $v = v + 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}} \approx 1608 м/с$.
Скорость одного из осколков (для определенности первого) после разрыва будет максимальна, если направление его скорости совпадает со скоростью снаряда до разрыва, а два оставшихся осколка летят назад с равной скоростью. Докажем это. Запишем кинетическую энергию осколков после разрыва в виде
$T = \frac{3mv^{2}}{2} + \frac{mv_{10}^{2}}{2} + \frac{mv_{20}^{2}}{2} + \frac{mv_{30}^{2}}{2}$ (1)
где $v_{10},v_{20}$ и $v_{30}$ — скорости осколков в системе центра масс. Закон сохранения импульса запишем в проекциях на оси, одна из которых (x) параллельна скорости первого осколка, а другая (у) перпендикулярна ей. Учитывая, что массы осколков равны, получаем:
$v_{10} + (v_{20})_{x} + (v_{30})_{x} = 0$, (2)
$(v_{20})_{y} + (v_{30})_{y} = 0$. (3)
Выражая из (2) и (3) проекции скорости третьего осколка, перепишем (1) в виде:
$\frac{T}{m} - \frac{3v^{2}}{2} - (v_{20})^{2}_{y} = v_{10}^{2} + v_{10}(v_{20})_{x} + (v_{20})_{x}^{2}$. (4)
Теперь, выделяя в правой части (4) квадрат суммы ($(v_{20})_{x} + v_{10}/2)^{2}$, имеем:
$\frac{3}{4} v_{10}^{2} = \frac{T}{m} - \frac{3v^{2}}{2} - (v_{20})_{y}^{2} - \left ( (v_{20})_{x} + \frac{v_{10}}{2} \right )^{2}$. (5)
Очевидно, что скорость $v_{10}$ будет максимальна, когда два последних члена в правой части (5) обратятся в нуль, т. е. $(v_{20})_{y} = 0$ (скорости всех осколков параллельны) и $(v_{20})_{x} = (v_{30})_{x} = - v_{10}/2$ (скорости второго и третьего осколка одинаковы). При этом
$v_{10} = 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}}$.
Скорость $v_{10}$ первого осколка в системе отсчета, связанной с Землей, максимальна, если ую совпадает по направлению со скоростью центра масс $v$:
$V = v + 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}} \approx 1608 м/с$.
При разрыве снаряда, летящего со скоростью $v = 800 м/с$, образовалось три осколка с равными массами $m = 20 кг$. Суммарная кинетическая энергия всех осколков $T = 2,9 \cdot 10^{7} Дж$. Какую наибольшую скорость $V$ может приобрести один из осколков? Вращением осколков пренебречь.
Решение:
Ответ: $v = v + 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}} \approx 1608 м/с$.
Скорость одного из осколков (для определенности первого) после разрыва будет максимальна, если направление его скорости совпадает со скоростью снаряда до разрыва, а два оставшихся осколка летят назад с равной скоростью. Докажем это. Запишем кинетическую энергию осколков после разрыва в виде
$T = \frac{3mv^{2}}{2} + \frac{mv_{10}^{2}}{2} + \frac{mv_{20}^{2}}{2} + \frac{mv_{30}^{2}}{2}$ (1)
где $v_{10},v_{20}$ и $v_{30}$ — скорости осколков в системе центра масс. Закон сохранения импульса запишем в проекциях на оси, одна из которых (x) параллельна скорости первого осколка, а другая (у) перпендикулярна ей. Учитывая, что массы осколков равны, получаем:
$v_{10} + (v_{20})_{x} + (v_{30})_{x} = 0$, (2)
$(v_{20})_{y} + (v_{30})_{y} = 0$. (3)
Выражая из (2) и (3) проекции скорости третьего осколка, перепишем (1) в виде:
$\frac{T}{m} - \frac{3v^{2}}{2} - (v_{20})^{2}_{y} = v_{10}^{2} + v_{10}(v_{20})_{x} + (v_{20})_{x}^{2}$. (4)
Теперь, выделяя в правой части (4) квадрат суммы ($(v_{20})_{x} + v_{10}/2)^{2}$, имеем:
$\frac{3}{4} v_{10}^{2} = \frac{T}{m} - \frac{3v^{2}}{2} - (v_{20})_{y}^{2} - \left ( (v_{20})_{x} + \frac{v_{10}}{2} \right )^{2}$. (5)
Очевидно, что скорость $v_{10}$ будет максимальна, когда два последних члена в правой части (5) обратятся в нуль, т. е. $(v_{20})_{y} = 0$ (скорости всех осколков параллельны) и $(v_{20})_{x} = (v_{30})_{x} = - v_{10}/2$ (скорости второго и третьего осколка одинаковы). При этом
$v_{10} = 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}}$.
Скорость $v_{10}$ первого осколка в системе отсчета, связанной с Землей, максимальна, если ую совпадает по направлению со скоростью центра масс $v$:
$V = v + 2 \sqrt{ \frac{T}{3m} - \frac{v^{2}}{2}} \approx 1608 м/с$.
