Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2088
2017-01-15 
Две пули, имеющие разные массы, но одинаковые импульсы, попадают в одинаковые неподвижные шары. Первая пуля пробивает шар насквозь. Вторая пуля, масса которой в 6 раз меньше массы шара, застревает в нем. После попадания пуль шары движутся с одинаковыми скоростями. Во сколько раз уменьшилась скорость первой пули после вылета из шара? При каком условии в первом шаре выделится в 3 раза больше тепла, чем во втором? При каком условии во втором шаре выделится больше тепла, чем в первом?
Решение:
Обозначим массы пуль $m_{1}$ и $m_{2}$, массу шара через $M$, а скорости первой пули до и после столкновения с шаром через $v$ и $v_{1}$. Имеем с помощью закона сохранения импульса для первой пули
$m_{1}v = m_{1}v_{1} + MV$. (1)
Поскольку начальные импульсы пуль одинаковы, то для второй пули справедливо
$m_{1}v = (M + m_{2})V$. (2)
Выражая скорость шара $V$ из первого уравнения
$V = \frac{m_{1} (v - v_{1})}{M}$, (3)
а подставляя во второе, приходим к соотношению
$\frac{v}{v_{1}} = \frac{M}{m_{2}} + 1$.
Так как по условию задачи $M/m_{2} = 6$, то $v/v_{1} = 7$: скорость первой пули после пробивания шара уменьшается в 7 раз. Используя этот результат и выражение (3) для скорости шара, можно на основании закона сохранения энергии записать следующие выражения для количества тепла, выделившегося в каждом шаре. Для первого шара имеем
$Q_{1} = \frac{m_{1}}{2} (7v_{1})^{2} - \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} - \frac{M}{2} \frac{m_{1}^{2}}{M^{2}} (6v_{1})^{2}$. (4)
Аналогично для второго шара, учитывая, что начальный импульс первой и второй одинаков, справедливо
$Q_{2} = \frac{m_{1}^{2}(7v_{1})^{2}}{2m_{2}} - \frac{M+m}{2} \frac{m_{1}^{2}}{M^{2}} (6v_{1})^{2}$. (5)
Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение $Q_{1}/Q_{2}$. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливо
$\frac{m_{1}}{M} = \frac{m_{1}}{M} \frac{m_{2}}{m_{2}} = \frac{m_{1}}{6m_{2}}$,
находим
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{8 - m_{1} / m_{2}}{7m_{1} /m_{2}}$. (6)
Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи $Q_{1}/ Q_{2} = 3$, находим для отношения масс пуль значение
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{4}{11}$.
Из выражения (6) следует, что $Q_{1} < Q_{2}$ при $m_{2} < m_{1}$. Однако при $m_{2} < m_{1}$ из уравнений (1) и (2) следует, что $V_{1} < V$. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие $m_{2} < m_{1}$ несовместимо с данными условиями и, следовательно, $Q_{1} > Q_{2}$: в первом шаре всегда выделяется больше тепла.
Две пули, имеющие разные массы, но одинаковые импульсы, попадают в одинаковые неподвижные шары. Первая пуля пробивает шар насквозь. Вторая пуля, масса которой в 6 раз меньше массы шара, застревает в нем. После попадания пуль шары движутся с одинаковыми скоростями. Во сколько раз уменьшилась скорость первой пули после вылета из шара? При каком условии в первом шаре выделится в 3 раза больше тепла, чем во втором? При каком условии во втором шаре выделится больше тепла, чем в первом?
Решение:
Обозначим массы пуль $m_{1}$ и $m_{2}$, массу шара через $M$, а скорости первой пули до и после столкновения с шаром через $v$ и $v_{1}$. Имеем с помощью закона сохранения импульса для первой пули
$m_{1}v = m_{1}v_{1} + MV$. (1)
Поскольку начальные импульсы пуль одинаковы, то для второй пули справедливо
$m_{1}v = (M + m_{2})V$. (2)
Выражая скорость шара $V$ из первого уравнения
$V = \frac{m_{1} (v - v_{1})}{M}$, (3)
а подставляя во второе, приходим к соотношению
$\frac{v}{v_{1}} = \frac{M}{m_{2}} + 1$.
Так как по условию задачи $M/m_{2} = 6$, то $v/v_{1} = 7$: скорость первой пули после пробивания шара уменьшается в 7 раз. Используя этот результат и выражение (3) для скорости шара, можно на основании закона сохранения энергии записать следующие выражения для количества тепла, выделившегося в каждом шаре. Для первого шара имеем
$Q_{1} = \frac{m_{1}}{2} (7v_{1})^{2} - \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} - \frac{M}{2} \frac{m_{1}^{2}}{M^{2}} (6v_{1})^{2}$. (4)
Аналогично для второго шара, учитывая, что начальный импульс первой и второй одинаков, справедливо
$Q_{2} = \frac{m_{1}^{2}(7v_{1})^{2}}{2m_{2}} - \frac{M+m}{2} \frac{m_{1}^{2}}{M^{2}} (6v_{1})^{2}$. (5)
Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение $Q_{1}/Q_{2}$. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливо
$\frac{m_{1}}{M} = \frac{m_{1}}{M} \frac{m_{2}}{m_{2}} = \frac{m_{1}}{6m_{2}}$,
находим
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{8 - m_{1} / m_{2}}{7m_{1} /m_{2}}$. (6)
Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи $Q_{1}/ Q_{2} = 3$, находим для отношения масс пуль значение
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{4}{11}$.
Из выражения (6) следует, что $Q_{1} < Q_{2}$ при $m_{2} < m_{1}$. Однако при $m_{2} < m_{1}$ из уравнений (1) и (2) следует, что $V_{1} < V$. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие $m_{2} < m_{1}$ несовместимо с данными условиями и, следовательно, $Q_{1} > Q_{2}$: в первом шаре всегда выделяется больше тепла.
