Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2087
2017-01-15 
Пуля налетает на неподвижный шар по линии, проходящей через его центр. Свойства пули и шара подобраны таким образом, чтобы на опыте были возможны три исхода: а) пуля пробивает шар насквозь, не меняя его массы; б) застревает в шаре; в) отскакивает от шара назад.
Определить, что именно наблюдалось на опыте, в котором скорость пули при ударе уменьшилась вдвое по модулю, а отношение выделившегося тепла к первоначальной кинетической энергии равно $\beta$.
Решение:
Разберем последовательно возможные случаи.
а) Пуля пробивает шар насквозь. На основании закона сохранения импульса имеем:
$mv = \frac{mv}{2} + MV$,
где $m$ и $M$ — массы пули и шара, $v$ — скорость пули до попадания в шар, $V$ — скорость шара после взаимодействия с пулей. Отсюда
$V = \frac{mv}{2M}$. (1)
Пробив шар насквозь, пуля, очевидно, движется быстрее шара, поэтому при $V < v/2$ имеем из (1)
$\frac{m}{M} < 1$. (2)
Для отношения выделившегося тепла $Q$ к первоначальной кинетической энергии пули имеем на основании закона сохранения энергии
$\beta = \frac{Q}{mv^{2}/2}, Q = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} - \frac{MV^{2}}{2}$,
причем эти соотношения справедливы во всех рассматриваемых случаях
Теперь с помощью (1) получаем для $\beta$
$\beta = \frac{1}{4} \left ( 3 - \frac{m}{M} \right )$. (3)
Учитывая условие (2), получаем с помощью (3) область возможных значений $\beta$ в случае а):
$\frac{1}{2} < \beta < \frac{3}{4}$.
б) Пуля застревает в шаре. В этом случае скорости пули и шара одинаковы, поэтому
$mv = (M + m) \frac{v}{2}$,
откуда сразу следует $m/M = 1$. Для $\beta$, как и в случае а), находим $\beta = 1/2$.
в) Пуля отскакивает от шара назад. В этом случае закон сохранения импульса записывается в виде
$mv = - \frac{mv}{2} + MV$,
откуда
$V = \frac{3}{2} \frac{m}{M} v$,
причем теперь закон сохранения импульса не накладывает никаких ограничений на значение отношения масс $m/M$ пули и шара. Рассуждая, как и в случае а), получаем для $\beta$
$\beta = \frac{3}{4} (1 - 3 \frac{m}{M})$. (4)
Очевидно, что значение $\beta$ неотрицательно, поэтому из закона сохранения энергии следует ограничение на возможные значения $m/M$, а именно
$\frac{m}{M} < \frac{1}{3}$. (5)
Из (4) и (5) следует область возможных значений $\beta$ в случае, когда пуля отскакивает от шара назад:
$0 < \beta < \frac{3}{4}$.
Теоретически возможен еще случай, когда после столкновения с шаром пуля движется вслед за ним с меньшей, чем он, скоростью. Легко убедиться, что в этом случае масса пули больше массы шара. Но по условию задачи такая ситуация не реализуется на опыте. Отсюда следует, что $m/M \leq 1$.
Теперь с помощью полученных результатов можно следующим образом сформулировать ответ на предложенный в условии задачи вопрос. Если $\beta < 1/2$, то пуля отскакивает от шара назад. Если $\beta = 1/2$, то при $m/M = 1$ пуля застревает в шаре, а при $m/M = 1/9$ отскакивает назад. Если $1/2 < \beta < 3/4$, то при $1/3 \leq m/M < 1$ пуля пробивает шар насквозь, а при $m/M < 1/3$ для ответа на вопрос задачи необходимо знать значение отношения масс $m/M$. Тогда имея заданное значение $\beta$, следует посмотреть, какому именно выражению — (3) или (4) — оно соответствует. Если заданное в условии задачи значение дается формулой (3), то пуля пробивает шар насквозь, а если формулой (4), то отскакивает от шара.
Не представляет труда исследовать случай, когда пуля, толкнув шар, движется вслед за ним. Приведем ответ. Для отношения масс $m/M$ в этом случае имеем условие
$1 < \frac{m}{M} \leq 3$, (6)
а для $\beta$ получается следующий интервал возможных значений
$0 \leq \beta < \frac{1}{2}$. (7)
Отметим, что из условий (6) и (7) следует, что при данных условиях задачи (скорость пули уменьшается вдвое) только в этом случае возможно абсолютно упругое столкновение пули с шаром.
Пуля налетает на неподвижный шар по линии, проходящей через его центр. Свойства пули и шара подобраны таким образом, чтобы на опыте были возможны три исхода: а) пуля пробивает шар насквозь, не меняя его массы; б) застревает в шаре; в) отскакивает от шара назад.
Определить, что именно наблюдалось на опыте, в котором скорость пули при ударе уменьшилась вдвое по модулю, а отношение выделившегося тепла к первоначальной кинетической энергии равно $\beta$.
Решение:
Разберем последовательно возможные случаи.
а) Пуля пробивает шар насквозь. На основании закона сохранения импульса имеем:
$mv = \frac{mv}{2} + MV$,
где $m$ и $M$ — массы пули и шара, $v$ — скорость пули до попадания в шар, $V$ — скорость шара после взаимодействия с пулей. Отсюда
$V = \frac{mv}{2M}$. (1)
Пробив шар насквозь, пуля, очевидно, движется быстрее шара, поэтому при $V < v/2$ имеем из (1)
$\frac{m}{M} < 1$. (2)
Для отношения выделившегося тепла $Q$ к первоначальной кинетической энергии пули имеем на основании закона сохранения энергии
$\beta = \frac{Q}{mv^{2}/2}, Q = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} - \frac{MV^{2}}{2}$,
причем эти соотношения справедливы во всех рассматриваемых случаях
Теперь с помощью (1) получаем для $\beta$
$\beta = \frac{1}{4} \left ( 3 - \frac{m}{M} \right )$. (3)
Учитывая условие (2), получаем с помощью (3) область возможных значений $\beta$ в случае а):
$\frac{1}{2} < \beta < \frac{3}{4}$.
б) Пуля застревает в шаре. В этом случае скорости пули и шара одинаковы, поэтому
$mv = (M + m) \frac{v}{2}$,
откуда сразу следует $m/M = 1$. Для $\beta$, как и в случае а), находим $\beta = 1/2$.
в) Пуля отскакивает от шара назад. В этом случае закон сохранения импульса записывается в виде
$mv = - \frac{mv}{2} + MV$,
откуда
$V = \frac{3}{2} \frac{m}{M} v$,
причем теперь закон сохранения импульса не накладывает никаких ограничений на значение отношения масс $m/M$ пули и шара. Рассуждая, как и в случае а), получаем для $\beta$
$\beta = \frac{3}{4} (1 - 3 \frac{m}{M})$. (4)
Очевидно, что значение $\beta$ неотрицательно, поэтому из закона сохранения энергии следует ограничение на возможные значения $m/M$, а именно
$\frac{m}{M} < \frac{1}{3}$. (5)
Из (4) и (5) следует область возможных значений $\beta$ в случае, когда пуля отскакивает от шара назад:
$0 < \beta < \frac{3}{4}$.
Теоретически возможен еще случай, когда после столкновения с шаром пуля движется вслед за ним с меньшей, чем он, скоростью. Легко убедиться, что в этом случае масса пули больше массы шара. Но по условию задачи такая ситуация не реализуется на опыте. Отсюда следует, что $m/M \leq 1$.
Теперь с помощью полученных результатов можно следующим образом сформулировать ответ на предложенный в условии задачи вопрос. Если $\beta < 1/2$, то пуля отскакивает от шара назад. Если $\beta = 1/2$, то при $m/M = 1$ пуля застревает в шаре, а при $m/M = 1/9$ отскакивает назад. Если $1/2 < \beta < 3/4$, то при $1/3 \leq m/M < 1$ пуля пробивает шар насквозь, а при $m/M < 1/3$ для ответа на вопрос задачи необходимо знать значение отношения масс $m/M$. Тогда имея заданное значение $\beta$, следует посмотреть, какому именно выражению — (3) или (4) — оно соответствует. Если заданное в условии задачи значение дается формулой (3), то пуля пробивает шар насквозь, а если формулой (4), то отскакивает от шара.
Не представляет труда исследовать случай, когда пуля, толкнув шар, движется вслед за ним. Приведем ответ. Для отношения масс $m/M$ в этом случае имеем условие
$1 < \frac{m}{M} \leq 3$, (6)
а для $\beta$ получается следующий интервал возможных значений
$0 \leq \beta < \frac{1}{2}$. (7)
Отметим, что из условий (6) и (7) следует, что при данных условиях задачи (скорость пули уменьшается вдвое) только в этом случае возможно абсолютно упругое столкновение пули с шаром.
