Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2084
2017-01-15 
В пробирке массой $M$, закрытой пробкой массой $m$, находится капля эфира. При нагревании пробирки пробка вылетает под давлением паров эфира. Пробирка подвешена таким образом, что может совершать обороты вокруг горизонтальной оси. С какой минимальной скоростью $v$ должна вылететь пробка, чтобы пробирка сделала полный оборот вокруг точки подвеса в случаях:
а) пробирка подвешена на невесомом стержне длиной $l$;
б) пробирка подвешена на невесомой нити такой же длины?
Решение:
При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через $\vec{v}$ и $\vec{V}$, имеем:
$M \vec{V} + m \vec{v} = 0$. (1)
После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:
$v = \frac{MV}{m}$. (2)
Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.
Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса $l$, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:
$\frac{MV^{2}}{2} = Mg2l$, (3)
откуда
$V = 2 \sqrt{gl}$. (4)
Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:
$v = 2 \frac{M}{m} \sqrt{gl}$. (5)
Для подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношение
$Mg = \frac{MV_{1}^{2}}{l}$, (6)
откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:
$V_{1} = \sqrt{gl}$. (7)
Закон сохранения энергии в этом случае записывается следующим образом:
$\frac{MV^{2}}{2} = Mg \cdot 2l + \frac{MV_{1}^{2}}{2}$. (8)
Подставляя сюда $V_{1}$ из (7), получаем для $V$:
$V= \sqrt{5gl}$. (9)
Теперь с помощью (2) находим выражение для минимальной скорости пробки, при которой сможет сделать полный оборот пробирка, подвешенная на нити:
$v = \frac{M}{m} \sqrt{5gl}$. (10)
Ответ: a) $v = 2 \frac{M}{m} \sqrt{gl}$; б) $v = \frac{M}{m} \sqrt{5gl}$.
В пробирке массой $M$, закрытой пробкой массой $m$, находится капля эфира. При нагревании пробирки пробка вылетает под давлением паров эфира. Пробирка подвешена таким образом, что может совершать обороты вокруг горизонтальной оси. С какой минимальной скоростью $v$ должна вылететь пробка, чтобы пробирка сделала полный оборот вокруг точки подвеса в случаях:
а) пробирка подвешена на невесомом стержне длиной $l$;
б) пробирка подвешена на невесомой нити такой же длины?
Решение:
При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через $\vec{v}$ и $\vec{V}$, имеем:
$M \vec{V} + m \vec{v} = 0$. (1)
После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:
$v = \frac{MV}{m}$. (2)
Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.
Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса $l$, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:
$\frac{MV^{2}}{2} = Mg2l$, (3)
откуда
$V = 2 \sqrt{gl}$. (4)
Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:
$v = 2 \frac{M}{m} \sqrt{gl}$. (5)
Для подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношение
$Mg = \frac{MV_{1}^{2}}{l}$, (6)
откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:
$V_{1} = \sqrt{gl}$. (7)
Закон сохранения энергии в этом случае записывается следующим образом:
$\frac{MV^{2}}{2} = Mg \cdot 2l + \frac{MV_{1}^{2}}{2}$. (8)
Подставляя сюда $V_{1}$ из (7), получаем для $V$:
$V= \sqrt{5gl}$. (9)
Теперь с помощью (2) находим выражение для минимальной скорости пробки, при которой сможет сделать полный оборот пробирка, подвешенная на нити:
$v = \frac{M}{m} \sqrt{5gl}$. (10)
Ответ: a) $v = 2 \frac{M}{m} \sqrt{gl}$; б) $v = \frac{M}{m} \sqrt{5gl}$.
