Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2077
2017-01-15 
Маленький шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. В начальный момент времени нить составляет угол $\phi_{0}$ с вертикалью, а скорость шарика равна нулю.
а) Какой угол составляет нить с вертикалью в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна?
б) Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда ускорение шарика направлено по горизонтали?
Решение:
Прежде всего, заметим, что вертикальная составляющая скорости шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали Действительно, ускорение — это производная от скорости и в точке, где вертикальная составляющая скорости максимальна, вертикальная составляющая ускорения равна нулю.
Запишем в этой точке уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальное и радиальное направления (рис.):
$T \cos \phi = mg$, (1)
$T - mg \cos \phi = \frac{mv^{2}}{l}$. (2)
Скорость $v$ в момент, когда нить образует угол $\phi$ с вертикалью, можно определить с помощью закона сохранения энергии:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl( \cos \phi - \cos \phi_{0})$. (3)
Подставляя (1) и (3) в (2), получаем квадратное уравнение относительно $\cos \phi$:
$3 \cos^{2} \phi - 2 \cos \phi_{0} \cos \phi - 1 = 0$.
Выбирая положительный корень, имеем
$\cos \phi = \frac{1}{3} ( \cos \phi_{0} + \sqrt{ \cos^{2} \phi_{0} + 3})$.
К тому же результату можно прийти и иначе, исследуя на экстремум вертикальную составляющую скорости $v_{B} = v \sin \phi$ как функцию $\cos \phi$. С помощью (3) имеем:
$v_{B}^{} = 2gl ( \cos \phi - \cos \phi_{0}) \sin^{2} \phi = 2gl ( \cos \phi - \cos \phi_{0})(1 - \cos^{2} \phi)$.
Экстремум можно найти, например, приравняв производную от $v_{B}^{2}$ по $\cos \phi$ к нулю.
Ответ: а) и б) при одном и том же угле $\phi = \pm 39,9^{ \circ}$, определяемом из условия $\cos \phi = \frac{1}{3} \left ( \cos \phi_{0} + \sqrt{ \cos^{2} \phi_{0} + 3} \right )$.
Маленький шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. В начальный момент времени нить составляет угол $\phi_{0}$ с вертикалью, а скорость шарика равна нулю.
а) Какой угол составляет нить с вертикалью в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна?
б) Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда ускорение шарика направлено по горизонтали?
Решение:
Прежде всего, заметим, что вертикальная составляющая скорости шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали Действительно, ускорение — это производная от скорости и в точке, где вертикальная составляющая скорости максимальна, вертикальная составляющая ускорения равна нулю.
Запишем в этой точке уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальное и радиальное направления (рис.):
$T \cos \phi = mg$, (1)
$T - mg \cos \phi = \frac{mv^{2}}{l}$. (2)
Скорость $v$ в момент, когда нить образует угол $\phi$ с вертикалью, можно определить с помощью закона сохранения энергии:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl( \cos \phi - \cos \phi_{0})$. (3)
Подставляя (1) и (3) в (2), получаем квадратное уравнение относительно $\cos \phi$:
$3 \cos^{2} \phi - 2 \cos \phi_{0} \cos \phi - 1 = 0$.
Выбирая положительный корень, имеем
$\cos \phi = \frac{1}{3} ( \cos \phi_{0} + \sqrt{ \cos^{2} \phi_{0} + 3})$.
К тому же результату можно прийти и иначе, исследуя на экстремум вертикальную составляющую скорости $v_{B} = v \sin \phi$ как функцию $\cos \phi$. С помощью (3) имеем:
$v_{B}^{} = 2gl ( \cos \phi - \cos \phi_{0}) \sin^{2} \phi = 2gl ( \cos \phi - \cos \phi_{0})(1 - \cos^{2} \phi)$.
Экстремум можно найти, например, приравняв производную от $v_{B}^{2}$ по $\cos \phi$ к нулю.
Ответ: а) и б) при одном и том же угле $\phi = \pm 39,9^{ \circ}$, определяемом из условия $\cos \phi = \frac{1}{3} \left ( \cos \phi_{0} + \sqrt{ \cos^{2} \phi_{0} + 3} \right )$.
