Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2076
2017-01-15 
Шарик, подвешенный на нити, отклоняют в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Нить выдерживает натяжение, превышающее действующую на шарик силу тяжести в $n$ раз.
а) Порвется ли нить при движении шарика к положению равновесия?
б) Если да, то при каком угле нити с вертикалью $\alpha$?
Решение:
Рассмотрев нить в определенном положении (рис.), пока она еще не разорвалась, составим уравнение второго закона Ньютона, которое в проекции на направление вдоль нити имеет вид:
$T - mg \cos \alpha = \frac{mv^{2}}{l}$, (1)
где $l$ — длина нити. Из этого уравнения видно, что с уменьшением угла $\alpha$, когда нить возвращается к равновесному положению, скорость шарика растет, должно расти и натяжение нити. Предельное значение $T$ по условию равно $nmg$. Следовательно, в точке разрыва нити выполняется равенство
$mg(n - \cos \alpha) = \frac{mv^{2}}{l}$, (2)
откуда
$v^{2} = gl(n - \cos \alpha)$. (3)
Величину скорости можно определить с помощью закона сохранения механической энергии. Набрав скорость $v$, шарик оказался на расстоянии $l \cos \alpha$ (рис.) ниже точки подвеса, поэтому
$\frac{mv^{2}}{2} - mgl \cos \alpha =0 $, (4)
откуда
$v^{2} = 2gl \cos \alpha$. (5)
Сравнивая (3) и (5), видим, что в точке разрыва нити
$\cos \alpha = \frac{n}{3}$. (6)
Соотношение (6) решает поставленную задачу. Очевидно, что $n > 1$, ибо в противном случае нить не сможет удерживать даже неподвижно висящий шарик. Поскольку максимальное значение косинуса равно единице, то (6) определяет интервал значений $n$, при которых нить разорвется: $1 < n \leq 3$. При $n = 3$ разрыв нити происходит при прохождении шариком положения равновесия. При $n > 3$ нить не порвется.
Ответ: а) нить порвется при $1 < n \leq 3$; б) $\alpha = arccos(n/3)$.
Шарик, подвешенный на нити, отклоняют в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Нить выдерживает натяжение, превышающее действующую на шарик силу тяжести в $n$ раз.
а) Порвется ли нить при движении шарика к положению равновесия?
б) Если да, то при каком угле нити с вертикалью $\alpha$?
Решение:
Рассмотрев нить в определенном положении (рис.), пока она еще не разорвалась, составим уравнение второго закона Ньютона, которое в проекции на направление вдоль нити имеет вид:
$T - mg \cos \alpha = \frac{mv^{2}}{l}$, (1)
где $l$ — длина нити. Из этого уравнения видно, что с уменьшением угла $\alpha$, когда нить возвращается к равновесному положению, скорость шарика растет, должно расти и натяжение нити. Предельное значение $T$ по условию равно $nmg$. Следовательно, в точке разрыва нити выполняется равенство
$mg(n - \cos \alpha) = \frac{mv^{2}}{l}$, (2)
откуда
$v^{2} = gl(n - \cos \alpha)$. (3)
Величину скорости можно определить с помощью закона сохранения механической энергии. Набрав скорость $v$, шарик оказался на расстоянии $l \cos \alpha$ (рис.) ниже точки подвеса, поэтому
$\frac{mv^{2}}{2} - mgl \cos \alpha =0 $, (4)
откуда
$v^{2} = 2gl \cos \alpha$. (5)
Сравнивая (3) и (5), видим, что в точке разрыва нити
$\cos \alpha = \frac{n}{3}$. (6)
Соотношение (6) решает поставленную задачу. Очевидно, что $n > 1$, ибо в противном случае нить не сможет удерживать даже неподвижно висящий шарик. Поскольку максимальное значение косинуса равно единице, то (6) определяет интервал значений $n$, при которых нить разорвется: $1 < n \leq 3$. При $n = 3$ разрыв нити происходит при прохождении шариком положения равновесия. При $n > 3$ нить не порвется.
Ответ: а) нить порвется при $1 < n \leq 3$; б) $\alpha = arccos(n/3)$.
