Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2075
2017-01-15 
С какой начальной скоростью $V_{0}$ нужно пустить скользить небольшое тело с высшей точки поверхности цилиндра радиуса $R$, чтобы оно оторвалось от цилиндра в заданном месте? Трением пренебречь.
Решение:
Пусть отрыв тела от поверхности цилиндра происходит в точке, задаваемой углом $\alpha$ между вертикалью и направлением на тело из центра цилиндра (рис.). Пока тело не оторвалось от поверхности, проекция его ускорения на радиальное направление равна $mV^{2}/R$, где $m$ и $V$ — масса и скорость тела. Поэтому, проектируя уравнение второго закона Ньютона на это направление, имеем (рис.):
$mg \cos \alpha - N = \frac{mV^{2}}{R}$. (1)
Связать начальную скорость $V_{0}$ и скорость $V$ можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии:
$\frac{mV_{0}^{2}}{2} = \frac{mV^{2}}{2} - mgR( 1 - \cos \alpha)$. (2)
Условие отрыва тела от поверхности цилиндра — обращение в нуль силы нормальной реакции $N$. Из (1) и (2) находим скорость $V_{0}$, при которой отрыв произойдет в точке, заданной углом $\alpha$:
$V_{0} = \sqrt{gR(3 \cos \alpha - 2)}$. (3)
При $\cos \alpha = 2/3$ скорость $V_{0}$ обращается в нуль. Отрыв от поверхности в отсутствие трения при больших углах не возможен. Для $\alpha = 0$ соотношение (3) дает $V_{0} = \sqrt{gR}$. В этом случае отрыв происходит сразу, в верхней точке. Очевидно, отрыв в верхней точке произойдет и при любой большей скорости $V_{0} > \sqrt{gR}$.
Ответ: если точка отрыва (рис.) задана углом $\alpha ( \cos \alpha > 2/3), V_{0} = \sqrt{gR(3 \cos \alpha - 2)}$.
С какой начальной скоростью $V_{0}$ нужно пустить скользить небольшое тело с высшей точки поверхности цилиндра радиуса $R$, чтобы оно оторвалось от цилиндра в заданном месте? Трением пренебречь.
Решение:
Пусть отрыв тела от поверхности цилиндра происходит в точке, задаваемой углом $\alpha$ между вертикалью и направлением на тело из центра цилиндра (рис.). Пока тело не оторвалось от поверхности, проекция его ускорения на радиальное направление равна $mV^{2}/R$, где $m$ и $V$ — масса и скорость тела. Поэтому, проектируя уравнение второго закона Ньютона на это направление, имеем (рис.):
$mg \cos \alpha - N = \frac{mV^{2}}{R}$. (1)
Связать начальную скорость $V_{0}$ и скорость $V$ можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии:
$\frac{mV_{0}^{2}}{2} = \frac{mV^{2}}{2} - mgR( 1 - \cos \alpha)$. (2)
Условие отрыва тела от поверхности цилиндра — обращение в нуль силы нормальной реакции $N$. Из (1) и (2) находим скорость $V_{0}$, при которой отрыв произойдет в точке, заданной углом $\alpha$:
$V_{0} = \sqrt{gR(3 \cos \alpha - 2)}$. (3)
При $\cos \alpha = 2/3$ скорость $V_{0}$ обращается в нуль. Отрыв от поверхности в отсутствие трения при больших углах не возможен. Для $\alpha = 0$ соотношение (3) дает $V_{0} = \sqrt{gR}$. В этом случае отрыв происходит сразу, в верхней точке. Очевидно, отрыв в верхней точке произойдет и при любой большей скорости $V_{0} > \sqrt{gR}$.
Ответ: если точка отрыва (рис.) задана углом $\alpha ( \cos \alpha > 2/3), V_{0} = \sqrt{gR(3 \cos \alpha - 2)}$.
