Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2074
2017-01-15 
Шайба соскальзывает без трения по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиуса $R$ (см. рис.). Оторвется ли она от поверхности или пройдет всю мертвую петлю, если начнет движение с высоты $h$? Если оторвется, то где?
Решение:
Ответ: шайба оторвется от желоба при $R \leq h \leq \frac{5}{2} R$ в точке, задаваемой углом $\alpha = arccos \left [ \frac{2}{3} \left ( \frac{h}{R} - 1 \right ) \right ]$.
Прежде всего заметим, что шайба не может оторваться от поверхности, пока не поднимется по желобу петли до высоты, на которой находится центр окружности. Пусть она еще касается желоба, находясь в точке, заданной углом $\alpha$ с вертикалью (рис.). В этом случае на шайбу действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$ со стороны желоба, направленная по радиусу к центру окружности. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление имеет вид:
$m \cos \alpha + N = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2} \right )$, (1)
причем условием отрыва шайбы является выполнение равенства $N = 0$. Из (1) видно, что при достаточно большой скорости шайбы $v$ она не оторвется от желоба. Если отрыв произошел в точке, заданной углом $\alpha$, то
$v = gR \cos \alpha$, (2)
скорость шайбы в этой точке можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии (рис.)
$mgh = mgR ( 1 + \cos \alpha) + \frac{mv^{2}}{2}$. (3)
Откуда
$v^{2} = 2[h - R (1 + \cos \alpha)]g$. (4)
Сравнивая (2) и (4), определяем высоту $h$, с которой должна начать скользить шайба, чтобы оторваться от желоба в точке, характеризуемой углом $\alpha$:
$h = R \left ( 1 + \frac{3}{2} \cos \alpha \right ), 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$. (5)
Видно, что $h$ растет с уменьшением угла $\alpha$. В частности, при $h > 5R/2$ шайба вообще не оторвется от желоба. При $R \leq h \leq 5R/2$ шайба оторвется при угле $\alpha$, определяемом из (5):
$\cos \alpha = \frac{2}{3} \left ( \frac{h}{R} - 1 \right )$. (6)
Наконец, при $h \leq R$ шайба остановится на желобе мертвой петли на высоте $h$ и начнет скользить обратно вниз по желобу.
Шайба соскальзывает без трения по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиуса $R$ (см. рис.). Оторвется ли она от поверхности или пройдет всю мертвую петлю, если начнет движение с высоты $h$? Если оторвется, то где?
Решение:
Ответ: шайба оторвется от желоба при $R \leq h \leq \frac{5}{2} R$ в точке, задаваемой углом $\alpha = arccos \left [ \frac{2}{3} \left ( \frac{h}{R} - 1 \right ) \right ]$.
Прежде всего заметим, что шайба не может оторваться от поверхности, пока не поднимется по желобу петли до высоты, на которой находится центр окружности. Пусть она еще касается желоба, находясь в точке, заданной углом $\alpha$ с вертикалью (рис.). В этом случае на шайбу действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$ со стороны желоба, направленная по радиусу к центру окружности. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление имеет вид:
$m \cos \alpha + N = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2} \right )$, (1)
причем условием отрыва шайбы является выполнение равенства $N = 0$. Из (1) видно, что при достаточно большой скорости шайбы $v$ она не оторвется от желоба. Если отрыв произошел в точке, заданной углом $\alpha$, то
$v = gR \cos \alpha$, (2)
скорость шайбы в этой точке можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии (рис.)
$mgh = mgR ( 1 + \cos \alpha) + \frac{mv^{2}}{2}$. (3)
Откуда
$v^{2} = 2[h - R (1 + \cos \alpha)]g$. (4)
Сравнивая (2) и (4), определяем высоту $h$, с которой должна начать скользить шайба, чтобы оторваться от желоба в точке, характеризуемой углом $\alpha$:
$h = R \left ( 1 + \frac{3}{2} \cos \alpha \right ), 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$. (5)
Видно, что $h$ растет с уменьшением угла $\alpha$. В частности, при $h > 5R/2$ шайба вообще не оторвется от желоба. При $R \leq h \leq 5R/2$ шайба оторвется при угле $\alpha$, определяемом из (5):
$\cos \alpha = \frac{2}{3} \left ( \frac{h}{R} - 1 \right )$. (6)
Наконец, при $h \leq R$ шайба остановится на желобе мертвой петли на высоте $h$ и начнет скользить обратно вниз по желобу.
