Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2073
2017-01-15 
На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинный брусок массой $M$. На кубик массой $m$, лежащий на бруске, в течение времени $t$ действует горизонтальная сила $F$. Коэффициент трения между бруском и кубиком равен $\mu$. Какой путь $S$ пройдет кубик по поверхности бруска?
Решение:
Под действием силы $F$ кубик разгоняется, а в результате действия силы трения разгоняется и брусок, на котором лежит кубик. При этом, если
$\frac{F}{m} - \mu g > \frac{ \mu mg}{M}$ или $F > \mu g \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$, (1)
то кубик будет двигаться по поверхности бруска. В противном случае кубик будет относительно бруска неподвижен.
После прекращения действия силы $F$ брусок продолжает разгоняться с тем же ускорением, а кубик тормозится под действием силы трения. Так происходит до тех пор, пока скорость у кубика и бруска не станет одинакова.
По закону изменения импульса системы $Ft = (m + M)v$, откуда
$v = \frac{Ft}{m+M}$.
По закону изменения кинетической энергии
$\mu mg S_{1} = \frac{Mv^{2}}{2}$,
где $S_{1}$ — перемещение бруска до момента выравнивания скоростей. Отсюда
$S_{1} = \frac{MF^{2}t^{2}}{2 \mu m (M+m)^{2}g}$.
За время $t$ действия силы $F$ кубик перемещается на расстояние
$s = \frac{at^{2}}{2} = \frac{F - \mu mg}{2m} t^{2}$.
Поэтому на основании закона изменения кинетической энергии
$F \cdot \frac{F - \mu mg}{2m} t^{2} - \mu mg S_{2} = \frac{mv^{2}}{2}$,
где $S_{2}$ — полное перемещение кубика в лабораторной системе отсчета. Отсюда
$S_{2} = \frac{F(F - \mu mg)(m+M)^{2} - F^{2}m^{2}}{2 \mu m^{2} (M+m)^{2} g} t^{2}$.
Перемещение $S$ кубика относительно бруска
$S = S_{2} - S_{1} = \frac{F^{2}M F \mu mg (m+M)}{2 \mu m^{2} ( m + M) g} t^{2}$.
Приведем для сравнения "динамическое" решение, основанное только на использовании законов Ньютона и формул равноускоренного движения.
При условии (1), пока действует сила $F$, кубик и брусок двигаются равноускоренно с ускорениями $a_{k} = F/m - \mu g$ и $a_{б} = \mu mg/M$ соответственно. Следовательно, к моменту прекращения действия силы $F$ кубик пройдет по бруску расстояние
$L_{1} = \frac{a_{k}t^{2}}{2} - \frac{a_{б}t^{2}}{2} = \frac{F/m - \mu g ( 1 + m/M)t^{2}}{2}$,
а скорости кубика и бруска будут равны $v_{k} = (F/m - \mu g)t$ и $a_{б} = \mu mg/M$.
Далее кубик будет двигаться равнозамедленно с ускорением $- \mu g$, а брусок продолжит равноускоренное движение с ускорением $a_{б}$ до тех пор, пока кубик не остановится относительно бруска. Время $t_{1}$ до остановки можно определить из уравнения
$v_{k} - \mu gt_{1} = v_{б} + \frac{ \mu mg}{M} t_{1}$.
Подставляя значения $v_{k}$ и $v_{б};$, находим $t_{1}$:
$t_{1} = \frac{F/m - \mu g ( 1 + m/M)}{ \mu g ( 1 + m/M)} t$.
Теперь определим расстояние $L_{2}$, которое пройдет кубик по бруску за время $t_{1}$:
$L_{2} = (v_{k} - v_{б}) t_{1} - \frac{ ( \mu g + a_{б}) t_{1}^{2}}{2} = \frac{[F/m - \mu g (1 + m/M)]^{2} t^{2}}{2 \mu g ( 1 + m/M)}$.
Складывая расстояния $L_{1}$ и $L_{2}$, получаем полный путь $S$, который пройдет кубик по поверхности бруска:
$S = \frac{F/m}{ \mu g ( 1 + m/M)} \cdot \frac{[F/m \mu g ( 1 + m/M)]t^{2}}{2} = \frac{F^{2}M - F \mu mg ( m + M)}{2 \mu m^{2} (m +M) g} t^{2}$
Ответ: $S_{1} = \frac{F^{2}M - F \mu mg (m+M)}{2 \mu m^{2} (m+M)g} t^{2}$.
На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинный брусок массой $M$. На кубик массой $m$, лежащий на бруске, в течение времени $t$ действует горизонтальная сила $F$. Коэффициент трения между бруском и кубиком равен $\mu$. Какой путь $S$ пройдет кубик по поверхности бруска?
Решение:
Под действием силы $F$ кубик разгоняется, а в результате действия силы трения разгоняется и брусок, на котором лежит кубик. При этом, если
$\frac{F}{m} - \mu g > \frac{ \mu mg}{M}$ или $F > \mu g \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$, (1)
то кубик будет двигаться по поверхности бруска. В противном случае кубик будет относительно бруска неподвижен.
После прекращения действия силы $F$ брусок продолжает разгоняться с тем же ускорением, а кубик тормозится под действием силы трения. Так происходит до тех пор, пока скорость у кубика и бруска не станет одинакова.
По закону изменения импульса системы $Ft = (m + M)v$, откуда
$v = \frac{Ft}{m+M}$.
По закону изменения кинетической энергии
$\mu mg S_{1} = \frac{Mv^{2}}{2}$,
где $S_{1}$ — перемещение бруска до момента выравнивания скоростей. Отсюда
$S_{1} = \frac{MF^{2}t^{2}}{2 \mu m (M+m)^{2}g}$.
За время $t$ действия силы $F$ кубик перемещается на расстояние
$s = \frac{at^{2}}{2} = \frac{F - \mu mg}{2m} t^{2}$.
Поэтому на основании закона изменения кинетической энергии
$F \cdot \frac{F - \mu mg}{2m} t^{2} - \mu mg S_{2} = \frac{mv^{2}}{2}$,
где $S_{2}$ — полное перемещение кубика в лабораторной системе отсчета. Отсюда
$S_{2} = \frac{F(F - \mu mg)(m+M)^{2} - F^{2}m^{2}}{2 \mu m^{2} (M+m)^{2} g} t^{2}$.
Перемещение $S$ кубика относительно бруска
$S = S_{2} - S_{1} = \frac{F^{2}M F \mu mg (m+M)}{2 \mu m^{2} ( m + M) g} t^{2}$.
Приведем для сравнения "динамическое" решение, основанное только на использовании законов Ньютона и формул равноускоренного движения.
При условии (1), пока действует сила $F$, кубик и брусок двигаются равноускоренно с ускорениями $a_{k} = F/m - \mu g$ и $a_{б} = \mu mg/M$ соответственно. Следовательно, к моменту прекращения действия силы $F$ кубик пройдет по бруску расстояние
$L_{1} = \frac{a_{k}t^{2}}{2} - \frac{a_{б}t^{2}}{2} = \frac{F/m - \mu g ( 1 + m/M)t^{2}}{2}$,
а скорости кубика и бруска будут равны $v_{k} = (F/m - \mu g)t$ и $a_{б} = \mu mg/M$.
Далее кубик будет двигаться равнозамедленно с ускорением $- \mu g$, а брусок продолжит равноускоренное движение с ускорением $a_{б}$ до тех пор, пока кубик не остановится относительно бруска. Время $t_{1}$ до остановки можно определить из уравнения
$v_{k} - \mu gt_{1} = v_{б} + \frac{ \mu mg}{M} t_{1}$.
Подставляя значения $v_{k}$ и $v_{б};$, находим $t_{1}$:
$t_{1} = \frac{F/m - \mu g ( 1 + m/M)}{ \mu g ( 1 + m/M)} t$.
Теперь определим расстояние $L_{2}$, которое пройдет кубик по бруску за время $t_{1}$:
$L_{2} = (v_{k} - v_{б}) t_{1} - \frac{ ( \mu g + a_{б}) t_{1}^{2}}{2} = \frac{[F/m - \mu g (1 + m/M)]^{2} t^{2}}{2 \mu g ( 1 + m/M)}$.
Складывая расстояния $L_{1}$ и $L_{2}$, получаем полный путь $S$, который пройдет кубик по поверхности бруска:
$S = \frac{F/m}{ \mu g ( 1 + m/M)} \cdot \frac{[F/m \mu g ( 1 + m/M)]t^{2}}{2} = \frac{F^{2}M - F \mu mg ( m + M)}{2 \mu m^{2} (m +M) g} t^{2}$
Ответ: $S_{1} = \frac{F^{2}M - F \mu mg (m+M)}{2 \mu m^{2} (m+M)g} t^{2}$.
