Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2069
2017-01-14 
Две звезды с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ движутся так, что расстояние между их центрами остается неизменным и равно $l$. Определить характер движения этих звезд (траекторию, скорость, ускорение), пренебрегая их взаимодействием с другими небесными телами.
Решение:
Между звездами действуют силы взаимного притяжения, поэтому каждая из них движется ускоренно: звезды "падают" друг на друга. Однако расстояние между звездами по условию задачи остается неизменным. Это значит, что скорость каждой звезды перпендикулярна соединяющей их прямой, звезды движутся по окружностям, а ускорение каждой звезды направлено перпендикулярно ее скорости Обе окружности имеют общий центр — центр масс системы (рис.), который в инерциальной системе отсчета покоится или движется равномерно и прямолинейно. Периоды обращения звезд вокруг их центра масс одинаковы: звезды все время находятся на одной прямой, проходящей через центр масс.
На основании третьего закона Ньютона модули центростремительных ускорений звезд обратно пропорциональны их массам, поэтому при одинаковых периодах имеем:
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$. (1)
Поскольку сумма радиусов окружностей $r_{1}$ и $r_{2}$ равна расстоянию $l$ между звездами:
$r_{1} + r_{2} = l$, (2)
то отсюда сразу получаем
$r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} l, r_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} l$. (3)
Найдем период обращения звезд. Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, имеем, например, для звезды с массой $m_{1}$:
$G \frac{m_{1}m_{2}}{l^{2}} = m_{1} \frac{4 \pi^{2} r_{1}}{ T^{2}}$. (4)
С помощью (4) и (3) находим:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{r_{1}l^{2}}{Gm_{2}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{3}}{ G ( m_{1} + m_{2})}}$. (5)
Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.
Если, например, $m_{1} \ll m_{2}$, то как следует из (1), $r_{1} \gg r_{2} \approx 0$, т.е. звезда с большой массой "топчется" на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом $r_{1} \approx l$ вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.
Две звезды с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ движутся так, что расстояние между их центрами остается неизменным и равно $l$. Определить характер движения этих звезд (траекторию, скорость, ускорение), пренебрегая их взаимодействием с другими небесными телами.
Решение:
Между звездами действуют силы взаимного притяжения, поэтому каждая из них движется ускоренно: звезды "падают" друг на друга. Однако расстояние между звездами по условию задачи остается неизменным. Это значит, что скорость каждой звезды перпендикулярна соединяющей их прямой, звезды движутся по окружностям, а ускорение каждой звезды направлено перпендикулярно ее скорости Обе окружности имеют общий центр — центр масс системы (рис.), который в инерциальной системе отсчета покоится или движется равномерно и прямолинейно. Периоды обращения звезд вокруг их центра масс одинаковы: звезды все время находятся на одной прямой, проходящей через центр масс.
На основании третьего закона Ньютона модули центростремительных ускорений звезд обратно пропорциональны их массам, поэтому при одинаковых периодах имеем:
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$. (1)
Поскольку сумма радиусов окружностей $r_{1}$ и $r_{2}$ равна расстоянию $l$ между звездами:
$r_{1} + r_{2} = l$, (2)
то отсюда сразу получаем
$r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} l, r_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} l$. (3)
Найдем период обращения звезд. Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, имеем, например, для звезды с массой $m_{1}$:
$G \frac{m_{1}m_{2}}{l^{2}} = m_{1} \frac{4 \pi^{2} r_{1}}{ T^{2}}$. (4)
С помощью (4) и (3) находим:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{r_{1}l^{2}}{Gm_{2}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{3}}{ G ( m_{1} + m_{2})}}$. (5)
Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.
Если, например, $m_{1} \ll m_{2}$, то как следует из (1), $r_{1} \gg r_{2} \approx 0$, т.е. звезда с большой массой "топчется" на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом $r_{1} \approx l$ вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.
