Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2060
2017-01-14 
Склон горы образует угол $\alpha$ с горизонтом. Под каким углом $\beta$ следует тянуть за веревку, чтобы равномерно втаскивать санки с наименьшим усилием? Какова должна быть величина этой силы?
Решение:
рис.1
рис.2
Считая санки материальной точкой, можно принять, что все действующие на санки силы — сила тяжести $m \vec{g}$, полная сила реакции поверхности $\vec{Q}$, и сила $\vec{F}$, с которой тянут за веревку, приложены в одной точке (рис. 1). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
$m \vec{g} + \vec{F} + \vec{Q} = 0$. (1)
Сила $\vec{Q}$ отклонена на угол $\phi$, определяемый соотношением $tg \phi = \mu$, от нормали к поверхности склона горы. Учет этого обстоятельства позволяет исследовать уравнение (1) графически. Сначала изобразим на чертеже известную и по величине и по направлению силу тяжести $m \vec{g}$ (рис. 2). Затем обозначим направление силы $\vec{Q}$. Оно составляет угол $\phi = arctg \mu$ с нормалью к наклонной плоскости, т.е. угол $\alpha + \phi$ с вертикалью. Через конец вектора $m \vec{g}$ проводим прямую, составляющую угол $\alpha + \phi$ с вертикалью. На этой прямой откладываем силу $\vec{Q}$, совмещая ее начало с концом вектора $m \vec{g}$. Далее, в соответствии с уравнением (1), строим силу $\vec{F}$, которая замыкает треугольник сил. Из рис. 2 видно, что модуль силы $\vec{F}$ будет наименьшим, когда ее направление образует прямой угол с направлением $\vec{Q}$, т. е. $\alpha + \phi$ с горизонтом. Другими словами, угол $\beta$ равен углу $\phi: \beta = arctg \mu$.
Из рис. 2 видно также, что приведенное решение имеет смысл только при $\alpha + \phi < \pi /2$.
Если $\alpha + \phi > \pi /2$, то сила $\vec{F}$ на рис. 2 отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы втаскивать санки в гору. Обычно коэффициент трения невелик: $\mu \ll 1$. Поэтому условие $\alpha + \phi > \pi /2$ может выполняться только при углах $\alpha$, близких к $\pi /2$. Решение, приведенное выше, следовательно, может оказаться несправедливым только при подъеме на очень крутую гору.
При выполнении условия $\alpha + \phi < \pi /2$ (т.е. $\alpha + arctg \mu < \pi /2$) модуль силы $\vec{F}$, как видно из рис. 2, равен
$F = mg \sin ( \alpha + \phi)$. (2)
Отметим, что в предельном случае $\alpha + \phi = \pi /2$ сила $\vec{F}$ направлена вертикально вверх и ее величина равна $mg$: сила $\vec{F}$ просто удерживает санки на весу, а сила $\vec{Q}$ равна нулю. Очевидно, что такой же должна быть сила $\vec{F}$ и в случае $\alpha + arctg \mu > \pi /2$.
Ответ: $\beta = arctg \mu, F = mg \sin ( \alpha + arctg \mu)$ при $\alpha + arctg \mu < \pi /2; \beta = \pi /2, F = mg$ при $\alpha + arctg \mu > \pi /2$.
Склон горы образует угол $\alpha$ с горизонтом. Под каким углом $\beta$ следует тянуть за веревку, чтобы равномерно втаскивать санки с наименьшим усилием? Какова должна быть величина этой силы?
Решение:
рис.1
рис.2
Считая санки материальной точкой, можно принять, что все действующие на санки силы — сила тяжести $m \vec{g}$, полная сила реакции поверхности $\vec{Q}$, и сила $\vec{F}$, с которой тянут за веревку, приложены в одной точке (рис. 1). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
$m \vec{g} + \vec{F} + \vec{Q} = 0$. (1)
Сила $\vec{Q}$ отклонена на угол $\phi$, определяемый соотношением $tg \phi = \mu$, от нормали к поверхности склона горы. Учет этого обстоятельства позволяет исследовать уравнение (1) графически. Сначала изобразим на чертеже известную и по величине и по направлению силу тяжести $m \vec{g}$ (рис. 2). Затем обозначим направление силы $\vec{Q}$. Оно составляет угол $\phi = arctg \mu$ с нормалью к наклонной плоскости, т.е. угол $\alpha + \phi$ с вертикалью. Через конец вектора $m \vec{g}$ проводим прямую, составляющую угол $\alpha + \phi$ с вертикалью. На этой прямой откладываем силу $\vec{Q}$, совмещая ее начало с концом вектора $m \vec{g}$. Далее, в соответствии с уравнением (1), строим силу $\vec{F}$, которая замыкает треугольник сил. Из рис. 2 видно, что модуль силы $\vec{F}$ будет наименьшим, когда ее направление образует прямой угол с направлением $\vec{Q}$, т. е. $\alpha + \phi$ с горизонтом. Другими словами, угол $\beta$ равен углу $\phi: \beta = arctg \mu$.
Из рис. 2 видно также, что приведенное решение имеет смысл только при $\alpha + \phi < \pi /2$.
Если $\alpha + \phi > \pi /2$, то сила $\vec{F}$ на рис. 2 отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы втаскивать санки в гору. Обычно коэффициент трения невелик: $\mu \ll 1$. Поэтому условие $\alpha + \phi > \pi /2$ может выполняться только при углах $\alpha$, близких к $\pi /2$. Решение, приведенное выше, следовательно, может оказаться несправедливым только при подъеме на очень крутую гору.
При выполнении условия $\alpha + \phi < \pi /2$ (т.е. $\alpha + arctg \mu < \pi /2$) модуль силы $\vec{F}$, как видно из рис. 2, равен
$F = mg \sin ( \alpha + \phi)$. (2)
Отметим, что в предельном случае $\alpha + \phi = \pi /2$ сила $\vec{F}$ направлена вертикально вверх и ее величина равна $mg$: сила $\vec{F}$ просто удерживает санки на весу, а сила $\vec{Q}$ равна нулю. Очевидно, что такой же должна быть сила $\vec{F}$ и в случае $\alpha + arctg \mu > \pi /2$.
Ответ: $\beta = arctg \mu, F = mg \sin ( \alpha + arctg \mu)$ при $\alpha + arctg \mu < \pi /2; \beta = \pi /2, F = mg$ при $\alpha + arctg \mu > \pi /2$.
