Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2059
2017-01-14 
Наклонная плоскость, составляющая угол $\alpha$ с горизонтом, движется горизонтально с ускорением $a$ в направлении, указанном на рисунке. При каком значении ускорения $a$ брусок будет покоиться относительно плоскости $\mu$?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
Если бы плоскость покоилась или двигалась равномерно ($a = 0$), то брусок был бы неподвижен относительно плоскости при $\mu \geq tg \alpha$ и соскальзывал бы ускоренно вниз при $\mu < tg \alpha$. Выясним, как изменятся эти условия при ускоренном движении плоскости. Если брусок неподвижно лежит на наклонной плоскости, то его ускорение равно ускорению плоскости. Следовательно, векторная сумма сил, действующая на брусок, равна произведению его массы на ускорение $\vec{a}$. На брусок действует сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции наклонной плоскости $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}$. Величина силы трения может меняться от нуля до максимального значения, равного $\mu N$. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение наклонной плоскости $a_{0}$ таково, что $m \vec{g} + \vec{N} = m \vec{a}_{0}$, то сила трения отсутствует: $\vec{F} = 0$ (рис. 4). Это происходит при $a_{0} = g tg a$.
Если ускорение наклонной плоскости а немного меньше $a_{0}$, то в отсутствие трения, т. е. при $\mu = 0$, брусок соскальзывал бы вниз; при $\mu \neq 0$ возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остается неподвижным. Но поскольку величина силы трения покоя не может превышать $\mu N$, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения $a_{1}$, брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения $a_{1}$ находится из условия, что сила трения $F$ равна своему максимальному значению $\mu N$ и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 2). Составим уравнение движения бруска $m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}_{1}$ и спроектируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:
$m \vec{g} \sin \alpha - \mu N = ma_{1} \cos \alpha$, (1)
$N - mg \cos \alpha = ma_{1} \sin \alpha$.
Исключая $N$, находим:
$a_{1} = g \frac{ \sin \alpha \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \in \alpha}$. (2)
Итак, если ускорение плоскости $a < a_{1}$, брусок соскальзывает вниз.
При $\mu > tg \alpha$ ускорение $a_{1}$ оказывается отрицательным. Как было отмечено выше, при $|mu \geq tg \alpha$ брусок не соскальзывает с неподвижной (равномерно движущейся) наклонной плоскости. Брусок не будет соскальзывать и при $a < 0$, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор пока величина ускорения не превосходит $| a_{1} |$. Действительно, уравнения (1) справедливы и тогда, когда ускорение $\vec{a}_{1}$ направлено влево, если под $a_{1}$ понимать его проекцию на горизонтальное направление. Таким образом, условие соскальзывания бруска при любых $\mu$ и $\alpha$:
$a < g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.
Пусть теперь ускорение плоскости $a$ немного больше $a_{0}$. Тогда при $\mu = 0$ брусок перемещался бы вверх вдоль наклонной плоскости; при $\mu \neq 0$ возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль наклонной плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом $a$ увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что величина силы трения $F$ достигнет своего максимального значения $\mu N$, брусок начнет скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости $a_{2}$ сила трения становится равной $\mu N$ (рис. 3). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска $m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}_{2}$ и проектируя его на те же направления
$mg \sin \alpha + \mu N = ma_{2} \cos \alpha$,
$N - mg \cos \alpha = ma_{2} \sin \alpha$,
находим:
$a_{2} = g \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha - \mu \sin \alpha}$.
Итак, если ускорение плоскости $a > a_{2}$, брусок скользит вверх. Заметим, что $a_{2}$ при $\mu = ctg \alpha$ обращается в бесконечность. Это означает, что при $\mu \geq ctg \alpha$ брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.
Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости в следующем виде:
$g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha} \leq a \leq \begin{cases} g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}, & \mu < ctg \alpha, \\ \infty, \mu \geq ctg \alpha. \end{cases}$
Полезно проанализировать ответ с точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе отсчета, связанной с плоскостью. Он обнаружит наряду с силами, перечисленными выше, еще и силу инерции — $ - m \vec{a}$. Эта сила вместе с силой $m \vec{g}$ создаст эффективную силу тяжести $m(g - a)$, направленную под углом $\beta = arctg(a/g)$ к вертикали. На рис. 4 пунктирная прямая, проведенная перпендикулярно эффективной силе тяжести, соответствует горизонтальному направлению для наблюдателя на плоскости. Таким образом, задача сведется к определению условий равновесия бруска на неподвижной наклонной плоскости с углом наклона $\gamma = \alpha - \beta$. При ускорении $a = a_{0} = g tg \alpha$ имеем $\gamma = 0$, т. е. эффективная сила тяжести перпендикулярна наклонной плоскости. В этом случае брусок будет находиться в равновесии даже при $\mu = 0$. При $a < a_{0}$ получаем $\gamma > 0$, плоскость наклонена вправо, при $a > a_{0}$ — влево. При очень большом ускорении $a > 0$ плоскость наклонена влево под углом $\gamma = \pi /2 - \alpha$. Если $\mu \geq cg \alpha$, брусок не будет двигаться вдоль наклонной плоскости даже в пределе $a \rightarrow \infty$.
Ответ: $g \frac{}{} \leq a \leq \begin{cases} g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}, & \mu ctg \alpha, \\ \infty, & \mu \geq ctg \alpha \end{cases}$.
Наклонная плоскость, составляющая угол $\alpha$ с горизонтом, движется горизонтально с ускорением $a$ в направлении, указанном на рисунке. При каком значении ускорения $a$ брусок будет покоиться относительно плоскости $\mu$?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
Если бы плоскость покоилась или двигалась равномерно ($a = 0$), то брусок был бы неподвижен относительно плоскости при $\mu \geq tg \alpha$ и соскальзывал бы ускоренно вниз при $\mu < tg \alpha$. Выясним, как изменятся эти условия при ускоренном движении плоскости. Если брусок неподвижно лежит на наклонной плоскости, то его ускорение равно ускорению плоскости. Следовательно, векторная сумма сил, действующая на брусок, равна произведению его массы на ускорение $\vec{a}$. На брусок действует сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции наклонной плоскости $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}$. Величина силы трения может меняться от нуля до максимального значения, равного $\mu N$. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение наклонной плоскости $a_{0}$ таково, что $m \vec{g} + \vec{N} = m \vec{a}_{0}$, то сила трения отсутствует: $\vec{F} = 0$ (рис. 4). Это происходит при $a_{0} = g tg a$.
Если ускорение наклонной плоскости а немного меньше $a_{0}$, то в отсутствие трения, т. е. при $\mu = 0$, брусок соскальзывал бы вниз; при $\mu \neq 0$ возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остается неподвижным. Но поскольку величина силы трения покоя не может превышать $\mu N$, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения $a_{1}$, брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения $a_{1}$ находится из условия, что сила трения $F$ равна своему максимальному значению $\mu N$ и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 2). Составим уравнение движения бруска $m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}_{1}$ и спроектируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:
$m \vec{g} \sin \alpha - \mu N = ma_{1} \cos \alpha$, (1)
$N - mg \cos \alpha = ma_{1} \sin \alpha$.
Исключая $N$, находим:
$a_{1} = g \frac{ \sin \alpha \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \in \alpha}$. (2)
Итак, если ускорение плоскости $a < a_{1}$, брусок соскальзывает вниз.
При $\mu > tg \alpha$ ускорение $a_{1}$ оказывается отрицательным. Как было отмечено выше, при $|mu \geq tg \alpha$ брусок не соскальзывает с неподвижной (равномерно движущейся) наклонной плоскости. Брусок не будет соскальзывать и при $a < 0$, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор пока величина ускорения не превосходит $| a_{1} |$. Действительно, уравнения (1) справедливы и тогда, когда ускорение $\vec{a}_{1}$ направлено влево, если под $a_{1}$ понимать его проекцию на горизонтальное направление. Таким образом, условие соскальзывания бруска при любых $\mu$ и $\alpha$:
$a < g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.
Пусть теперь ускорение плоскости $a$ немного больше $a_{0}$. Тогда при $\mu = 0$ брусок перемещался бы вверх вдоль наклонной плоскости; при $\mu \neq 0$ возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль наклонной плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом $a$ увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что величина силы трения $F$ достигнет своего максимального значения $\mu N$, брусок начнет скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости $a_{2}$ сила трения становится равной $\mu N$ (рис. 3). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска $m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}_{2}$ и проектируя его на те же направления
$mg \sin \alpha + \mu N = ma_{2} \cos \alpha$,
$N - mg \cos \alpha = ma_{2} \sin \alpha$,
находим:
$a_{2} = g \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha - \mu \sin \alpha}$.
Итак, если ускорение плоскости $a > a_{2}$, брусок скользит вверх. Заметим, что $a_{2}$ при $\mu = ctg \alpha$ обращается в бесконечность. Это означает, что при $\mu \geq ctg \alpha$ брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.
Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости в следующем виде:
$g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha} \leq a \leq \begin{cases} g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}, & \mu < ctg \alpha, \\ \infty, \mu \geq ctg \alpha. \end{cases}$
Полезно проанализировать ответ с точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе отсчета, связанной с плоскостью. Он обнаружит наряду с силами, перечисленными выше, еще и силу инерции — $ - m \vec{a}$. Эта сила вместе с силой $m \vec{g}$ создаст эффективную силу тяжести $m(g - a)$, направленную под углом $\beta = arctg(a/g)$ к вертикали. На рис. 4 пунктирная прямая, проведенная перпендикулярно эффективной силе тяжести, соответствует горизонтальному направлению для наблюдателя на плоскости. Таким образом, задача сведется к определению условий равновесия бруска на неподвижной наклонной плоскости с углом наклона $\gamma = \alpha - \beta$. При ускорении $a = a_{0} = g tg \alpha$ имеем $\gamma = 0$, т. е. эффективная сила тяжести перпендикулярна наклонной плоскости. В этом случае брусок будет находиться в равновесии даже при $\mu = 0$. При $a < a_{0}$ получаем $\gamma > 0$, плоскость наклонена вправо, при $a > a_{0}$ — влево. При очень большом ускорении $a > 0$ плоскость наклонена влево под углом $\gamma = \pi /2 - \alpha$. Если $\mu \geq cg \alpha$, брусок не будет двигаться вдоль наклонной плоскости даже в пределе $a \rightarrow \infty$.
Ответ: $g \frac{}{} \leq a \leq \begin{cases} g \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}, & \mu ctg \alpha, \\ \infty, & \mu \geq ctg \alpha \end{cases}$.
