Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2058
2017-01-14 
Два тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, расположены на наклонной плоскости, как показано на рисунке. Определить ускорения тел и натяжение нити, если коэффициенты трения тел о поверхность наклонной плоскости равны $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Массой блока и трением в нем пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
Направления сил трения брусков о наклонную плоскость заранее не задано. Однако перебирать все возможные варианты нет необходимости. Достаточно воспользоваться следующим соображением: при наличии трения бруски либо не будут двигаться вовсе, либо будут двигаться в ту же сторону, что и при отсутствии трения.
Прежде всего выясним, как будут двигаться грузы в отсутствие трения. Действующие в этом случае силы показаны на рис. 1. Элементарный анализ показывает, что при $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ грузы движутся с ускорением влево, при обратном неравенстве — вправо и при $m_{1} \sin \alpha_{1} = m_{2} \sin \alpha_{2}$ ускорения грузов равны нулю.
Пусть оказалось, что $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$. Предположим, что грузы продолжают двигаться и при наличии трения. В этом случае действующие в системе силы показаны на рис. 2. Уравнения движения грузов записываются в виде:
$m_{1} \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{тр1} + \vec{T}_{1} = m_{1} \vec{a}_{1}$, (1)
$m_{2} \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{F}_{тр2} + \vec{T}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2}$, (2)
Если нить невесома и нерастяжима, а массой блока и трением в нем можно пренебречь, то $a_{1} = a_{2} \equiv a$ и $T_{1} = T_{2} \equiv T$. Решать уравнения (1) и (2) удобно, вводя для каждого из тел свою систему координат, в которых оси направлены вдоль соответствующей наклонной плоскости и перпендикулярно ей (рис. 2). Тогда (1) записывается в проекциях на оси координат в виде
$m_{1}g \sin \alpha_{1} - F_{тр1} - T = m_{1}a$, (3)
$N_{1} - m_{1}g \cos \alpha_{1} = 0$. (4)
Аналогично из (2) получаем:
$T - m_{2} g \sin \alpha_{2} - F_{тр2} = m_{2}a$, (5)
$N_{2} - m_{2}g \cos \alpha_{2} = 0$. (6)
При движении брусков силы $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ — это силы трения скольжения. Для их модулей справедливо
$F_{тр1} = \mu_{1}N_{1}, F_{тр2} = \mu_{2} N_{2}$. (7)
Отсюда с помощью (4) и (6) находим:
$F_{тр1} = \mu_{1}m_{1} g \cos \alpha_{1}$. (8)
Подставляя равенство (8) соответственно в уравнения (3) и (5), получаем:
$m_{1} g \sin \alpha_{1} \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} - T = m_{1}a$, (9)
$T - m_{2}g \sin \alpha_{2} - \mu_{2} m_{2}g \cos \alpha_{2} = m_{2}a$. (10)
Решая (9) и (10) относительно $a$, получаем:
$a = \frac{m_{1} g \sin \alpha_{1} - \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} - m_{2} g \sin \alpha_{2} - \mu_{2} m_{2} \cos \alpha_{2}}{m_{1} + m_{2}}$. (11)
Если после подстановки численных значений всех величин получится $a > 0$, то тела действительно движутся и при наличии трения, причем модуль их ускорения дается формулой (11). Натяжение нити в этом случае можно найти, решив (9) и (10) относительно $T$:
$T = \frac{m_{1}m_{2}( \sin \alpha_{1} \mu_{1} \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \mu_{2} \cos \alpha_{2})}{m_{1} + m_{2}} g$. (12)
Видно, что это выражение дает правильный результат в предельном случае $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \pi /2$, который соответствует грузам, подвешенным на нити, перекинутой через неподвижный блок (машина Атвуда).
Если окажется, что $a < 0$, то это означает, что тела в действительности неподвижны: $a_{1} = a_{2} = 0$. Силы $\vec{F}_{тp1}$ и $F_{тp2}$ в этом случае — это силы трения покоя. Их модули уже не определяются формулами (7). Более того, направление этих сил уже не обязательно соответствует рис. 2. Нетрудно видеть, что при $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ только сила $\vec{F}_{тp1}$ обязательно направлена так, как показано на рисунке, а сила $\vec{F}_{тp2}$ может, в зависимости от значений параметров, быть направлена как в сторону, указанную на рис. 2, так и в противоположную.
Даже если направление силы $\vec{F}_{тp2}$ известно (например, соответствует рис. 2), при неподвижных грузах определить силу натяжения нити однозначно невозможно. Действительно, уравнения (3) и (5) в этом случае имеют вид
$m_{1}g \sin \alpha_{1} - F_{тp1} - T = 0$,
$T - m_{2}g \sin \alpha_{2} - F_{тp2} = 0$.
Это система двух уравнений с тремя неизвестными величинами $F_{тp1}, F_{тp2}$ и $T$. Поскольку значение модулей сил трения покоя лежат в интервале
$0 \leq F_{тpl} \leq \mu_{1} N_{1}$,
$0 \leq F_{тp2} \leq \mu_{2} N_{2}$,
то можно только указать интервал возможных значений силы натяжения нити. Однозначно определить силу натяжения нити при неподвижных грузах можно только в случае, когда формула (11) дает $a = 0$. При этом значение $T$ определяется формулой (12) и происходит это потому, что а обращается в нуль, когда модули сил трения покоя достигают своих максимальных значений.
Ответ: $a = \frac{m_{1}g \sin \alpha_{1} - \mu_{1} m_{1}g \cos \alpha_{1} - m_{2} g \sin \alpha_{2} - \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha_{2}}{m_{1} + m_{2}}, T = \frac{m_{1}m_{2}( \sin \alpha_{1} \mu_{1} \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \mu_{2} \cos \alpha_{2})}{m_{1} + m_{2}} g$ в случае, когда $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ и $m_{1} \sin \alpha_{1} > \mu_{1} m_{1}g \cos \alpha_{1} + m_{2} g \sin \alpha_{2} + \mu_{2} m_{2} g \sin \alpha_{2}$.
Если $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$, но $m_{1} \sin \alpha_{1} < \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} + m_{2} g \sin \alpha_{2} + \mu_{2} m_{2} g \cos \alpha_{2}$, то грузы неподвижны, а натяжение нити однозначно не определено.
Два тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, расположены на наклонной плоскости, как показано на рисунке. Определить ускорения тел и натяжение нити, если коэффициенты трения тел о поверхность наклонной плоскости равны $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Массой блока и трением в нем пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
Направления сил трения брусков о наклонную плоскость заранее не задано. Однако перебирать все возможные варианты нет необходимости. Достаточно воспользоваться следующим соображением: при наличии трения бруски либо не будут двигаться вовсе, либо будут двигаться в ту же сторону, что и при отсутствии трения.
Прежде всего выясним, как будут двигаться грузы в отсутствие трения. Действующие в этом случае силы показаны на рис. 1. Элементарный анализ показывает, что при $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ грузы движутся с ускорением влево, при обратном неравенстве — вправо и при $m_{1} \sin \alpha_{1} = m_{2} \sin \alpha_{2}$ ускорения грузов равны нулю.
Пусть оказалось, что $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$. Предположим, что грузы продолжают двигаться и при наличии трения. В этом случае действующие в системе силы показаны на рис. 2. Уравнения движения грузов записываются в виде:
$m_{1} \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{тр1} + \vec{T}_{1} = m_{1} \vec{a}_{1}$, (1)
$m_{2} \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{F}_{тр2} + \vec{T}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2}$, (2)
Если нить невесома и нерастяжима, а массой блока и трением в нем можно пренебречь, то $a_{1} = a_{2} \equiv a$ и $T_{1} = T_{2} \equiv T$. Решать уравнения (1) и (2) удобно, вводя для каждого из тел свою систему координат, в которых оси направлены вдоль соответствующей наклонной плоскости и перпендикулярно ей (рис. 2). Тогда (1) записывается в проекциях на оси координат в виде
$m_{1}g \sin \alpha_{1} - F_{тр1} - T = m_{1}a$, (3)
$N_{1} - m_{1}g \cos \alpha_{1} = 0$. (4)
Аналогично из (2) получаем:
$T - m_{2} g \sin \alpha_{2} - F_{тр2} = m_{2}a$, (5)
$N_{2} - m_{2}g \cos \alpha_{2} = 0$. (6)
При движении брусков силы $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ — это силы трения скольжения. Для их модулей справедливо
$F_{тр1} = \mu_{1}N_{1}, F_{тр2} = \mu_{2} N_{2}$. (7)
Отсюда с помощью (4) и (6) находим:
$F_{тр1} = \mu_{1}m_{1} g \cos \alpha_{1}$. (8)
Подставляя равенство (8) соответственно в уравнения (3) и (5), получаем:
$m_{1} g \sin \alpha_{1} \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} - T = m_{1}a$, (9)
$T - m_{2}g \sin \alpha_{2} - \mu_{2} m_{2}g \cos \alpha_{2} = m_{2}a$. (10)
Решая (9) и (10) относительно $a$, получаем:
$a = \frac{m_{1} g \sin \alpha_{1} - \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} - m_{2} g \sin \alpha_{2} - \mu_{2} m_{2} \cos \alpha_{2}}{m_{1} + m_{2}}$. (11)
Если после подстановки численных значений всех величин получится $a > 0$, то тела действительно движутся и при наличии трения, причем модуль их ускорения дается формулой (11). Натяжение нити в этом случае можно найти, решив (9) и (10) относительно $T$:
$T = \frac{m_{1}m_{2}( \sin \alpha_{1} \mu_{1} \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \mu_{2} \cos \alpha_{2})}{m_{1} + m_{2}} g$. (12)
Видно, что это выражение дает правильный результат в предельном случае $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \pi /2$, который соответствует грузам, подвешенным на нити, перекинутой через неподвижный блок (машина Атвуда).
Если окажется, что $a < 0$, то это означает, что тела в действительности неподвижны: $a_{1} = a_{2} = 0$. Силы $\vec{F}_{тp1}$ и $F_{тp2}$ в этом случае — это силы трения покоя. Их модули уже не определяются формулами (7). Более того, направление этих сил уже не обязательно соответствует рис. 2. Нетрудно видеть, что при $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ только сила $\vec{F}_{тp1}$ обязательно направлена так, как показано на рисунке, а сила $\vec{F}_{тp2}$ может, в зависимости от значений параметров, быть направлена как в сторону, указанную на рис. 2, так и в противоположную.
Даже если направление силы $\vec{F}_{тp2}$ известно (например, соответствует рис. 2), при неподвижных грузах определить силу натяжения нити однозначно невозможно. Действительно, уравнения (3) и (5) в этом случае имеют вид
$m_{1}g \sin \alpha_{1} - F_{тp1} - T = 0$,
$T - m_{2}g \sin \alpha_{2} - F_{тp2} = 0$.
Это система двух уравнений с тремя неизвестными величинами $F_{тp1}, F_{тp2}$ и $T$. Поскольку значение модулей сил трения покоя лежат в интервале
$0 \leq F_{тpl} \leq \mu_{1} N_{1}$,
$0 \leq F_{тp2} \leq \mu_{2} N_{2}$,
то можно только указать интервал возможных значений силы натяжения нити. Однозначно определить силу натяжения нити при неподвижных грузах можно только в случае, когда формула (11) дает $a = 0$. При этом значение $T$ определяется формулой (12) и происходит это потому, что а обращается в нуль, когда модули сил трения покоя достигают своих максимальных значений.
Ответ: $a = \frac{m_{1}g \sin \alpha_{1} - \mu_{1} m_{1}g \cos \alpha_{1} - m_{2} g \sin \alpha_{2} - \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha_{2}}{m_{1} + m_{2}}, T = \frac{m_{1}m_{2}( \sin \alpha_{1} \mu_{1} \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \mu_{2} \cos \alpha_{2})}{m_{1} + m_{2}} g$ в случае, когда $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$ и $m_{1} \sin \alpha_{1} > \mu_{1} m_{1}g \cos \alpha_{1} + m_{2} g \sin \alpha_{2} + \mu_{2} m_{2} g \sin \alpha_{2}$.
Если $m_{1} \sin \alpha_{1} > m_{2} \sin \alpha_{2}$, но $m_{1} \sin \alpha_{1} < \mu_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1} + m_{2} g \sin \alpha_{2} + \mu_{2} m_{2} g \cos \alpha_{2}$, то грузы неподвижны, а натяжение нити однозначно не определено.
