Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2056
2017-01-14 
Тепловоз массой $M$ тянет за собой вагон массой $m$ с постоянной скоростью по прямому горизонтальному пути. В некоторый момент вагон отцепляется от тепловоза и проходит путь $l$ до остановки. Какой путь $L$ пройдет тепловоз от момента отцепления вагона до его остановки? Силу тяги тепловоза считать постоянной, а силу сопротивления движению — не зависящей от скорости.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на тепловоз и вагон, когда они были сцеплены. На тепловоз действует сила тяги $F_{тяг}$, сила сопротивления $F_{сопр}^{1}$ и сила со стороны прицепленного вагона $T$ (рис.). Поскольку тепловоз движется равномерно
$F_{тяг} = F_{сопр}^{(1)} + T$.
На вагон действует сила со стороны тепловоза, равная по модулю $T$, и сила сопротивления $F_{сопр}^{(2)}$. Вагон тоже двигался равномерно. Поэтому $F_{сорп}^{(2)} = T$.
После отцепления вагона тепловоз будет двигаться равноускоренно с ускорением $a_{1} = (F_{тяг} - F_{сопр}^{(1)})/M = T/M$, а вагон — равнозамедленно с ускорением по модулю равным $a_{2} = F_{сопр}^{(2)}/m = T/m$. Следовательно, $a_{1}/a_{2} = m/M$.
Чтобы определить путь $L$, обозначим $V$ начальную скорость тепловоза и вагона. Время от момента отцепления вагона до его остановки $t = V/a_{1}$. Поэтому
$L = V \frac{V}{a_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \left ( \frac{V}{a_{1}} \right )^{2} = \frac{V^{2}}{a_{1}} + \frac{M}{2m} \frac{V^{2}}{a_{1}} = \frac{V^{2}}{a_{1}} \left ( 1 + \frac{M}{2m} \right )$.
Путь, пройденный до остановки вагоном
$l = V \frac{V}{a_{1}} - \frac{a_{1}}{2} \left ( \frac{V}{a_{1}} \right )^{2} = \frac{V^{2}}{2a_{1}}$.
Следовательно, $L = l(2 + M/m)$.
К этому результату можно прийти и проще, если учесть, что пройденный путь — это площадь под графиком скорости. На рис. приведены графики скорости вагона и тепловоза. Путь $l$, пройденный вагоном, равен площади заштрихованного горизонтально треугольника AOD. Путь, пройденный тепловозом — площадь, заштрихованная вертикально. Она состоит из площади прямоугольника OACD, равной $2l$ и площади прямоугольного треугольника ABC. Последняя в $M/m$ раз меньше $l$. Действительно, у треугольников AOD и ABC один из катет одинаков, а отношение других как раз равно отношению ускорений, т.е. $M/m$.
Ответ: $L = l(2 + M/m)$.
Тепловоз массой $M$ тянет за собой вагон массой $m$ с постоянной скоростью по прямому горизонтальному пути. В некоторый момент вагон отцепляется от тепловоза и проходит путь $l$ до остановки. Какой путь $L$ пройдет тепловоз от момента отцепления вагона до его остановки? Силу тяги тепловоза считать постоянной, а силу сопротивления движению — не зависящей от скорости.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на тепловоз и вагон, когда они были сцеплены. На тепловоз действует сила тяги $F_{тяг}$, сила сопротивления $F_{сопр}^{1}$ и сила со стороны прицепленного вагона $T$ (рис.). Поскольку тепловоз движется равномерно
$F_{тяг} = F_{сопр}^{(1)} + T$.
На вагон действует сила со стороны тепловоза, равная по модулю $T$, и сила сопротивления $F_{сопр}^{(2)}$. Вагон тоже двигался равномерно. Поэтому $F_{сорп}^{(2)} = T$.
После отцепления вагона тепловоз будет двигаться равноускоренно с ускорением $a_{1} = (F_{тяг} - F_{сопр}^{(1)})/M = T/M$, а вагон — равнозамедленно с ускорением по модулю равным $a_{2} = F_{сопр}^{(2)}/m = T/m$. Следовательно, $a_{1}/a_{2} = m/M$.
Чтобы определить путь $L$, обозначим $V$ начальную скорость тепловоза и вагона. Время от момента отцепления вагона до его остановки $t = V/a_{1}$. Поэтому
$L = V \frac{V}{a_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \left ( \frac{V}{a_{1}} \right )^{2} = \frac{V^{2}}{a_{1}} + \frac{M}{2m} \frac{V^{2}}{a_{1}} = \frac{V^{2}}{a_{1}} \left ( 1 + \frac{M}{2m} \right )$.
Путь, пройденный до остановки вагоном
$l = V \frac{V}{a_{1}} - \frac{a_{1}}{2} \left ( \frac{V}{a_{1}} \right )^{2} = \frac{V^{2}}{2a_{1}}$.
Следовательно, $L = l(2 + M/m)$.
К этому результату можно прийти и проще, если учесть, что пройденный путь — это площадь под графиком скорости. На рис. приведены графики скорости вагона и тепловоза. Путь $l$, пройденный вагоном, равен площади заштрихованного горизонтально треугольника AOD. Путь, пройденный тепловозом — площадь, заштрихованная вертикально. Она состоит из площади прямоугольника OACD, равной $2l$ и площади прямоугольного треугольника ABC. Последняя в $M/m$ раз меньше $l$. Действительно, у треугольников AOD и ABC один из катет одинаков, а отношение других как раз равно отношению ускорений, т.е. $M/m$.
Ответ: $L = l(2 + M/m)$.
