Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2055
2017-01-14 
Два бруска с одинаковыми массами $m$ скреплены нитью и находятся на наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Бруски скользят вниз по наклонной плоскости. Каково натяжение нити, если коэффициент трения верхнего бруска о плоскость $\mu_{1}$, а нижнего $\mu_{2}$?
Решение:
Запишем уравнения движения для каждого из брусков в проекциях на оси, направленные вдоль наклонной плоскости (х) и по нормали к наклонной плоскости (у) (рис.). Для нижнего бруска имеем:
$x: mg \sin \alpha - T_{1} - \mu_{1} N_{1} = ma$, (1)
$y: N_{1} - mg \cos \alpha = 0$. (2)
Для верхнего:
$x: mg \sin \alpha + T_{2} - \mu_{2} N_{2} = ma$, (3)
$y: N_{2} - mg \cos \alpha = 0$. (4)
Здесь учтено, что бруски скользят по наклонной плоскости, Это накладывает условие на коэффициенты трения: $( \mu_{1} + \mu_{2})/2 \leq tg \alpha$. Кроме того, ускорения обоих брусков приняты одинаковыми. Это будет так, если $\mu_{1} \leq \mu_{2}$. В противном случае ускорение верхнего бруска будет больше, чем нижнего и они будут двигаться независимо вплоть до столкновения. Сила натяжения нити при этом равна нулю.
Подставляя $N_{1}$ и $N_{2}$ из (2) и (4) в (1) и (3) и приравнивая левые части уравнений (1) и (2), имеем:
$mg \sin \alpha - T_{1} - \mu_{1} mg \cos \alpha = mg \sin \alpha + T_{2} - \mu_{2} mg \cos \alpha$.
Так как нить предполагается невесомой, ее натяжение одинаково во всех точках: $T_{1} = T_{2} = T$. Поэтому для $T$ получаем
$T = \frac{1}{2} ( \mu_{2} - \mu_{1}) mg \cos \alpha$.
К тому же результату можно прийти, если написать уравнение движения для системы, состоящей из двух брусков, соединенных нитью, найти ускорение, а потом определить натяжение нити, например, из уравнения (1). В этом случае отдельного уравнения для второго бруска не потребуется.
Ответ: $T = \frac{1}{2}( \mu_{2} - \mu_{1}) mg \cos \alpha$.
Два бруска с одинаковыми массами $m$ скреплены нитью и находятся на наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Бруски скользят вниз по наклонной плоскости. Каково натяжение нити, если коэффициент трения верхнего бруска о плоскость $\mu_{1}$, а нижнего $\mu_{2}$?
Решение:
Запишем уравнения движения для каждого из брусков в проекциях на оси, направленные вдоль наклонной плоскости (х) и по нормали к наклонной плоскости (у) (рис.). Для нижнего бруска имеем:
$x: mg \sin \alpha - T_{1} - \mu_{1} N_{1} = ma$, (1)
$y: N_{1} - mg \cos \alpha = 0$. (2)
Для верхнего:
$x: mg \sin \alpha + T_{2} - \mu_{2} N_{2} = ma$, (3)
$y: N_{2} - mg \cos \alpha = 0$. (4)
Здесь учтено, что бруски скользят по наклонной плоскости, Это накладывает условие на коэффициенты трения: $( \mu_{1} + \mu_{2})/2 \leq tg \alpha$. Кроме того, ускорения обоих брусков приняты одинаковыми. Это будет так, если $\mu_{1} \leq \mu_{2}$. В противном случае ускорение верхнего бруска будет больше, чем нижнего и они будут двигаться независимо вплоть до столкновения. Сила натяжения нити при этом равна нулю.
Подставляя $N_{1}$ и $N_{2}$ из (2) и (4) в (1) и (3) и приравнивая левые части уравнений (1) и (2), имеем:
$mg \sin \alpha - T_{1} - \mu_{1} mg \cos \alpha = mg \sin \alpha + T_{2} - \mu_{2} mg \cos \alpha$.
Так как нить предполагается невесомой, ее натяжение одинаково во всех точках: $T_{1} = T_{2} = T$. Поэтому для $T$ получаем
$T = \frac{1}{2} ( \mu_{2} - \mu_{1}) mg \cos \alpha$.
К тому же результату можно прийти, если написать уравнение движения для системы, состоящей из двух брусков, соединенных нитью, найти ускорение, а потом определить натяжение нити, например, из уравнения (1). В этом случае отдельного уравнения для второго бруска не потребуется.
Ответ: $T = \frac{1}{2}( \mu_{2} - \mu_{1}) mg \cos \alpha$.
