Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2049
2017-01-14 
Бусинка массой 100 г может скользить без трения по проволочному кольцу радиусом 10 см, которое вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром кольца, совершая два оборота за секунду. В каком положении бусинка будет оставаться неподвижной относительно кольца? Что произойдет, если частоту вращения уменьшить вдвое?
Решение:
Силы, приложенные к бусинке, когда ее положение на кольце задано углом $\theta$ показаны на рис.. Бусинка движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса $r = R \sin\theta$, изображенной на рисунке пунктиром. Ее ускорение а определяется частотой вращения $\nu$ и радиусом $r$:
$a = (2 \pi \nu)^{2}r = (2 \pi \nu)^{2} R \sin \theta$.
Проектируя уравнение движения на горизонтальное и вертикальное направления, имеем:
$N \cos \theta - mg = 0$, (1)
$N \sin \theta = m(2 \pi \nu)^{2} R \sin \theta$. (2)
Выражая из (1) $N$ и подставляя в (2), получаем:
$g tg \theta = (2 \pi \nu )^{2} R \sin \theta$. (3)
Одно из решений этого уравнения, которое существует при любых $\nu$, отвечает случаю $\theta = 0$, тогда $\sin \theta = tg \theta = 0$ и $N = mg$. Второе решение находим, разделив обе части (3) на $\sin \theta \neq 0$. Тогда
$\cos \theta = \frac{g}{(2 \pi \nu)^{2} R}$.
Это решение существует только при $g \leq (2 \pi \nu)^{2}R$. При таком условии второе решение является устойчивым, а первое — неустойчивым. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно вывести бусинку из положения равновесия и увидеть, что возникающие силы стремятся в первом случае вернуть ее обратно, а во втором еще дальше увести ее от равновесия.
При заданных в условии значениях параметров $\cos \theta \approx 0,62$ и $ \theta \approx 51,7^{ \circ}$. Однако, если уменьшить частоту $\nu$ вдвое, то останется единственное решение $\theta = 0$.
Ответ: положение бусинки на кольце задается углом $\theta \approx 51,7^{ \circ}$ (рис.). При уменьшении частоты вращения вдвое бусинка будет находиться в нижней точке кольца: $\theta = 0$.
Бусинка массой 100 г может скользить без трения по проволочному кольцу радиусом 10 см, которое вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром кольца, совершая два оборота за секунду. В каком положении бусинка будет оставаться неподвижной относительно кольца? Что произойдет, если частоту вращения уменьшить вдвое?
Решение:
Силы, приложенные к бусинке, когда ее положение на кольце задано углом $\theta$ показаны на рис.. Бусинка движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса $r = R \sin\theta$, изображенной на рисунке пунктиром. Ее ускорение а определяется частотой вращения $\nu$ и радиусом $r$:
$a = (2 \pi \nu)^{2}r = (2 \pi \nu)^{2} R \sin \theta$.
Проектируя уравнение движения на горизонтальное и вертикальное направления, имеем:
$N \cos \theta - mg = 0$, (1)
$N \sin \theta = m(2 \pi \nu)^{2} R \sin \theta$. (2)
Выражая из (1) $N$ и подставляя в (2), получаем:
$g tg \theta = (2 \pi \nu )^{2} R \sin \theta$. (3)
Одно из решений этого уравнения, которое существует при любых $\nu$, отвечает случаю $\theta = 0$, тогда $\sin \theta = tg \theta = 0$ и $N = mg$. Второе решение находим, разделив обе части (3) на $\sin \theta \neq 0$. Тогда
$\cos \theta = \frac{g}{(2 \pi \nu)^{2} R}$.
Это решение существует только при $g \leq (2 \pi \nu)^{2}R$. При таком условии второе решение является устойчивым, а первое — неустойчивым. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно вывести бусинку из положения равновесия и увидеть, что возникающие силы стремятся в первом случае вернуть ее обратно, а во втором еще дальше увести ее от равновесия.
При заданных в условии значениях параметров $\cos \theta \approx 0,62$ и $ \theta \approx 51,7^{ \circ}$. Однако, если уменьшить частоту $\nu$ вдвое, то останется единственное решение $\theta = 0$.
Ответ: положение бусинки на кольце задается углом $\theta \approx 51,7^{ \circ}$ (рис.). При уменьшении частоты вращения вдвое бусинка будет находиться в нижней точке кольца: $\theta = 0$.
