Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2046
2017-01-12 
С какой минимальной скоростью и откуда нужно бросить мячик, чтобы он смог перелететь через ангар с плоской крышей? Высота ангара $h$, ширина $l$. (См. рис.)
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что траектория мячика, соответствующая минимальной начальной скорости, имеет вид, показанный на рис. При этом в точке А скорость должна быть направлена под углом $\pi /4$ к горизонту. Достигнув этой точки, мячик должен пролететь расстояние $l$ по горизонтали до точки В. Поэтому $l = V^{2}/g$. Теперь легко найти модуль начальной скорости $V_{0}: V_{0}^{2} = V^{2} + 2gh = g(l + 2h)$.
Угол $\alpha$, образуемый вектором $\vec{V}_{0}$ с горизонтом, проще всего найти, учитывая, что горизонтальная составляющая скорости не меняется при отсутствии сопротивления воздуха: $V_{0} \cos \alpha = V \sqrt{2}/2$. Подставляя сюда значения $V_{0}$ и $V$, находим:
$\cos \alpha = \sqrt{ \frac{l}{l + 2}} \frac{ \sqrt{2}}{2}$.
Расстояние CD на рисунке — это расстояние, которое пролетел мяч по горизонтали со скоростью $V_{0} \cos \alpha$ за время $t$, в течение которого он поднимается на высоту $h$, или, что то же самое, в течение которого его вертикальная составляющая скорости убывает от значения $V_{0} \sin \alpha$ до значения $V \sqrt{2}/2$. Подставляя в уравнение $V \sqrt{2} /2 = V_{0} \sin \alpha - gt$ найденные значения $V, V_{0}$ и $\alpha$, получаем: $t = \frac{ \sqrt{2}}{2 \sqrt{g}} ( \sqrt{ l + 2h} - \sqrt{l})$.
Теперь для расстояния CD имеем
$CD = V_{0} t \cos \alpha = \frac{l}{2} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2h}{l}} - 1 \right )$.
Рассмотрим некоторые предельные случаи. При $h = 0$ получаем: $V_{0}^{2} = gk; \cos \alpha = \sqrt{2}/2 ( \alpha = \pi /4)$ и $CD = 0$. Этого и следовало ожидать, поскольку в этом случае нужно просто бросить мяч с минимальной скоростью на расстояние $l$. При $l = 0$ аналогично имеем $V_{0}^{2} = 2gh; \cos \alpha = 0 ( \alpha = \pi /2)$ и $CD = 0$. В этом случае достаточно просто подбросить мяч на высоту $h$.
Ответ: $V_{0min} = \sqrt{g(l + 2h)}$. Бросать мячик нужно под углом $\alpha = arccos \left ( \sqrt{ \frac{l}{l + 2h} \frac{ \sqrt{2}}{2}} \right )$ с расстояния $\frac{l}{2} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2h}{l}} - 1 \right )$ от стены ангара.
С какой минимальной скоростью и откуда нужно бросить мячик, чтобы он смог перелететь через ангар с плоской крышей? Высота ангара $h$, ширина $l$. (См. рис.)
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что траектория мячика, соответствующая минимальной начальной скорости, имеет вид, показанный на рис. При этом в точке А скорость должна быть направлена под углом $\pi /4$ к горизонту. Достигнув этой точки, мячик должен пролететь расстояние $l$ по горизонтали до точки В. Поэтому $l = V^{2}/g$. Теперь легко найти модуль начальной скорости $V_{0}: V_{0}^{2} = V^{2} + 2gh = g(l + 2h)$.
Угол $\alpha$, образуемый вектором $\vec{V}_{0}$ с горизонтом, проще всего найти, учитывая, что горизонтальная составляющая скорости не меняется при отсутствии сопротивления воздуха: $V_{0} \cos \alpha = V \sqrt{2}/2$. Подставляя сюда значения $V_{0}$ и $V$, находим:
$\cos \alpha = \sqrt{ \frac{l}{l + 2}} \frac{ \sqrt{2}}{2}$.
Расстояние CD на рисунке — это расстояние, которое пролетел мяч по горизонтали со скоростью $V_{0} \cos \alpha$ за время $t$, в течение которого он поднимается на высоту $h$, или, что то же самое, в течение которого его вертикальная составляющая скорости убывает от значения $V_{0} \sin \alpha$ до значения $V \sqrt{2}/2$. Подставляя в уравнение $V \sqrt{2} /2 = V_{0} \sin \alpha - gt$ найденные значения $V, V_{0}$ и $\alpha$, получаем: $t = \frac{ \sqrt{2}}{2 \sqrt{g}} ( \sqrt{ l + 2h} - \sqrt{l})$.
Теперь для расстояния CD имеем
$CD = V_{0} t \cos \alpha = \frac{l}{2} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2h}{l}} - 1 \right )$.
Рассмотрим некоторые предельные случаи. При $h = 0$ получаем: $V_{0}^{2} = gk; \cos \alpha = \sqrt{2}/2 ( \alpha = \pi /4)$ и $CD = 0$. Этого и следовало ожидать, поскольку в этом случае нужно просто бросить мяч с минимальной скоростью на расстояние $l$. При $l = 0$ аналогично имеем $V_{0}^{2} = 2gh; \cos \alpha = 0 ( \alpha = \pi /2)$ и $CD = 0$. В этом случае достаточно просто подбросить мяч на высоту $h$.
Ответ: $V_{0min} = \sqrt{g(l + 2h)}$. Бросать мячик нужно под углом $\alpha = arccos \left ( \sqrt{ \frac{l}{l + 2h} \frac{ \sqrt{2}}{2}} \right )$ с расстояния $\frac{l}{2} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2h}{l}} - 1 \right )$ от стены ангара.
