Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2045
2017-01-12 
Склон горы составляет угол $\beta$ с горизонтом.
а) На какое максимальное расстояние вверх вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна $V_{0}$? Под каким углом нужно бросать камень?
б) На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно бросить камень, если его начальная скорость равна $V_{0}$? Под каким углом нужно бросать камень?
в) Какова минимальная скорость снаряда, при которой возможно поразить цель, находящуюся на расстоянии $L$ на высоте $H$?
г) Определить границу достижимых целей при заданном значении начальной скорости $V_{0}$.
Решение:
а) Движение камня описывается уравнением $\vec{r} = \vec{V}_{0}t + \vec{g}t^{2}/2$, а соответствующий треугольник перемещений изображен на рис. сплошными линиями. Вектор $\vec{r}$ в момент падения направлен вдоль склона горы из точки А в точку В, вектор $\vec{V}_{0}t$ направлен вдоль вектора $\vec{V}_{0}$, вектор $\vec{g}t^{2}/2$ вертикально вниз. Воспользовавшись теоремой синусов, получаем:
$\frac{V_{0}t}{ \sin( \pi/2 + \beta)} = \frac{gt^{2}/2}{ \sin \alpha} = \frac{r}{ \sin ( \pi /2 - \alpha - \beta)}$. (1)
Выражая из первого равенства (1) $t = \frac{2V_{0} \sin \alpha}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha + \beta)$ и подставляя его во второе, находим
$r = \frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha + \beta)$. (2)
Используя тождество $\sin x \cos y = \frac{1}{2} [ \sin (x + y) + \sin(x - y)]$, преобразуем (2) к виду
$r = \frac{V_{0}^{2} [ \sin (2 \alpha + \beta) - \sin \beta]}{g \cos^{2} \beta}$. (3)
Теперь очевидно, что при заданном $\beta$ расстояние $r$ максимально ($r = s_{max}$) когда $\sin (2 \alpha + \beta) = 1$, т. е. $\alpha = \pi /4 - \beta/2$. При этом
$r = \frac{V_{0}^{2} (1 - \sin \beta)}{g \cos^{2} \beta} = \frac{V_{0}^{2} ( 1 - \sin \beta)}{g(1 - \sin^{2} \beta)} = \frac{V_{0}^{2}}{g (1 + \sin^{ \beta})}$. (4)
б) В случае, когда камень бросают со склона вниз, треугольник перемещений показан на рис. пунктиром. Теорема синусов дает
$\frac{Vt}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \beta \right )} = \frac{ gt^{2}/2}{ \sin \gamma} = \frac{r}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \beta - \gamma \right )}$
Выражая, как и выше, $t$ из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
$r = \frac{2V^{2} \sin \gamma}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha - \beta) = \frac{V^{2}[ \sin (2 \gamma - \beta) + \sin \beta]}{g \cos^{2} \beta}$.
В этом случае $r = s_{max}$ при условии $\sin(2 \alpha - \beta) = 1$, или $\alpha = \pi /4 + \beta /2$. Для $s_{max}$ имеем:
$s_{max} = \frac{V^{2}}{g(1 - \sin \beta)}$.
Отметим, что все формулы (б) могут быть получены из формул (а) заменой $\beta \rightarrow - \beta, V_{0} \rightarrow V$ и $\alpha \rightarrow \gamma$.
в) Для определения минимальной скорости, при которой снаряд может поразить цель, расположенную на расстоянии $L$ по горизонтали, на высоте $H$ воспользуемся формулой (4), выразив из нее $V_{0} = \sqrt{gr(1 + \sin \beta)}$. Теперь, подставив в эту формулу $r = \sqrt{L^{2} + H^{2}}$ и $|sin \beta = \frac{H}{r} = \frac{H}{ \sqrt{L^{2} + H^{2}}}$ получим $V_{min} = \sqrt{ g \sqrt{ L^{2} + H^{2}} + H}$.
г) В полярных координатах $(r, \phi)$ уравнение для границы достижимых целей при фиксированной скорости $V_{0}$ получается непосредственно из (4) заменой $\beta \rightarrow \phi$:
$r = \frac{V_{0}^{2}}{g ( 1 + sin^{ \phi})}$. (5)
Для того, чтобы записать его в декартовых координатах, перепишем (5) в виде:
$y = r \sin \phi = \frac{V_{0}^{2}}{g} - r = \frac{V_{0}^{2}}{g} - \sqrt{ x^{2} + y^{2}}$.
Выражая отсюда зависимость $y = y(x)$ в явном виде, получаем:
$y = \frac{V_{0}^{2}}{2g} - \frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}$
Ответ: а) $s_{max} = \frac{V_{0}^{2}}{g ( 1 + \sin \beta)}$; бросать камень нужно под углом $\alpha = \frac{ \pi}{4} - \frac{ \beta}{2}$ к горизонту; б) $s_{max} = \frac{V^{2}}{g(1 - \sin \beta)}$ бросать камень нужно под углом $\alpha = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \beta}{2}$ к горизонту; в)$ V_{min} = \sqrt{ g \sqrt{ L^{2} + H^{2}}}$; г) $r = \frac{V_{0}^{2}}{g (1 + \sin \phi)}$ в полярных координатах или $y = \frac{V_{0}^{2}}{2g} - \frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}$ в декартовых координатах.
Склон горы составляет угол $\beta$ с горизонтом.
а) На какое максимальное расстояние вверх вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна $V_{0}$? Под каким углом нужно бросать камень?
б) На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно бросить камень, если его начальная скорость равна $V_{0}$? Под каким углом нужно бросать камень?
в) Какова минимальная скорость снаряда, при которой возможно поразить цель, находящуюся на расстоянии $L$ на высоте $H$?
г) Определить границу достижимых целей при заданном значении начальной скорости $V_{0}$.
Решение:
а) Движение камня описывается уравнением $\vec{r} = \vec{V}_{0}t + \vec{g}t^{2}/2$, а соответствующий треугольник перемещений изображен на рис. сплошными линиями. Вектор $\vec{r}$ в момент падения направлен вдоль склона горы из точки А в точку В, вектор $\vec{V}_{0}t$ направлен вдоль вектора $\vec{V}_{0}$, вектор $\vec{g}t^{2}/2$ вертикально вниз. Воспользовавшись теоремой синусов, получаем:
$\frac{V_{0}t}{ \sin( \pi/2 + \beta)} = \frac{gt^{2}/2}{ \sin \alpha} = \frac{r}{ \sin ( \pi /2 - \alpha - \beta)}$. (1)
Выражая из первого равенства (1) $t = \frac{2V_{0} \sin \alpha}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha + \beta)$ и подставляя его во второе, находим
$r = \frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha + \beta)$. (2)
Используя тождество $\sin x \cos y = \frac{1}{2} [ \sin (x + y) + \sin(x - y)]$, преобразуем (2) к виду
$r = \frac{V_{0}^{2} [ \sin (2 \alpha + \beta) - \sin \beta]}{g \cos^{2} \beta}$. (3)
Теперь очевидно, что при заданном $\beta$ расстояние $r$ максимально ($r = s_{max}$) когда $\sin (2 \alpha + \beta) = 1$, т. е. $\alpha = \pi /4 - \beta/2$. При этом
$r = \frac{V_{0}^{2} (1 - \sin \beta)}{g \cos^{2} \beta} = \frac{V_{0}^{2} ( 1 - \sin \beta)}{g(1 - \sin^{2} \beta)} = \frac{V_{0}^{2}}{g (1 + \sin^{ \beta})}$. (4)
б) В случае, когда камень бросают со склона вниз, треугольник перемещений показан на рис. пунктиром. Теорема синусов дает
$\frac{Vt}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \beta \right )} = \frac{ gt^{2}/2}{ \sin \gamma} = \frac{r}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \beta - \gamma \right )}$
Выражая, как и выше, $t$ из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
$r = \frac{2V^{2} \sin \gamma}{g \cos^{2} \beta} \cos ( \alpha - \beta) = \frac{V^{2}[ \sin (2 \gamma - \beta) + \sin \beta]}{g \cos^{2} \beta}$.
В этом случае $r = s_{max}$ при условии $\sin(2 \alpha - \beta) = 1$, или $\alpha = \pi /4 + \beta /2$. Для $s_{max}$ имеем:
$s_{max} = \frac{V^{2}}{g(1 - \sin \beta)}$.
Отметим, что все формулы (б) могут быть получены из формул (а) заменой $\beta \rightarrow - \beta, V_{0} \rightarrow V$ и $\alpha \rightarrow \gamma$.
в) Для определения минимальной скорости, при которой снаряд может поразить цель, расположенную на расстоянии $L$ по горизонтали, на высоте $H$ воспользуемся формулой (4), выразив из нее $V_{0} = \sqrt{gr(1 + \sin \beta)}$. Теперь, подставив в эту формулу $r = \sqrt{L^{2} + H^{2}}$ и $|sin \beta = \frac{H}{r} = \frac{H}{ \sqrt{L^{2} + H^{2}}}$ получим $V_{min} = \sqrt{ g \sqrt{ L^{2} + H^{2}} + H}$.
г) В полярных координатах $(r, \phi)$ уравнение для границы достижимых целей при фиксированной скорости $V_{0}$ получается непосредственно из (4) заменой $\beta \rightarrow \phi$:
$r = \frac{V_{0}^{2}}{g ( 1 + sin^{ \phi})}$. (5)
Для того, чтобы записать его в декартовых координатах, перепишем (5) в виде:
$y = r \sin \phi = \frac{V_{0}^{2}}{g} - r = \frac{V_{0}^{2}}{g} - \sqrt{ x^{2} + y^{2}}$.
Выражая отсюда зависимость $y = y(x)$ в явном виде, получаем:
$y = \frac{V_{0}^{2}}{2g} - \frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}$
Ответ: а) $s_{max} = \frac{V_{0}^{2}}{g ( 1 + \sin \beta)}$; бросать камень нужно под углом $\alpha = \frac{ \pi}{4} - \frac{ \beta}{2}$ к горизонту; б) $s_{max} = \frac{V^{2}}{g(1 - \sin \beta)}$ бросать камень нужно под углом $\alpha = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \beta}{2}$ к горизонту; в)$ V_{min} = \sqrt{ g \sqrt{ L^{2} + H^{2}}}$; г) $r = \frac{V_{0}^{2}}{g (1 + \sin \phi)}$ в полярных координатах или $y = \frac{V_{0}^{2}}{2g} - \frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}$ в декартовых координатах.
