Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2044
2017-01-12 
Из окна комнаты, расположенной на высоте $h$, бросают камень с начальной скоростью $V_{0}$.
1) Под каким углом $\alpha$ к горизонту следует бросить камень, чтобы он улетел как можно дальше от окна?
2) На какое максимальное расстояние $s_{max}$ от окна по горизонтали он удалится?
Решение:
Сразу очевидно, что бросать камень нужно под некоторым углом вверх. Действительно, бросая камень с заданной скоростью под углом вниз, мы уменьшаем как горизонтальную составляющую скорости, так и время полета по сравнению с их значениями, в случае, когда камень бросают горизонтально. При бросании камня под небольшим углом вверх мы почти не меняем горизонтальной составляющей скорости ($\cos \alpha \approx 1$), но увеличиваем время падения камня, ибо сначала он поднимается и это время становится равным $\frac{V_{0} \sin \alpha}{g} + \sqrt{ \frac{2}{g} \left ( h + \frac{V_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g} \right )}$ вместо $\sqrt{ \frac{2h}{g}}$ при бросании по горизонтали.
Пусть камень брошен из окна под углом $\alpha$ к горизонту и упал на Землю на расстоянии $s$ от стены дома. Запишем выражение для его перемещений по горизонтали и вертикали:
$s = V_{0} \cos \alpha t$,
$h = - V_{0} \sin \alpha t + \frac{gt^{2}}{2}$.
Выражая время полета t из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
$h = - s tg \alpha + \frac{gs^{2}}{2V_{0}^{2}}(1 + tg^{2} \alpha)$.
Здесь использовано тригонометрическое тождество $1/ \cos 2 \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$.
Теперь можно выразить дальность полета по горизонтали $s$ из уравнения для $h$ и исследовать получившееся выражение на экстремум в зависимости от угла $\alpha$. Однако проще поступить иначе. Решаем это уравнение как квадратное относительно $tg \alpha$ и получаем:
$tg \alpha = \frac{V_{0}^{2} \pm \sqrt{ V_{0}^{4} - g^{2}s^{2} + 2V_{0}^{2} gh}}{gs}$.
Физический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
$V_{0}^{4} + 2vV_{0}^{2}gh - g^{2}s^{2} \geq 0$.
Отсюда получаем неравенство для дальности полета камня по горизонтали
$s \leq \frac{V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
Максимальной дальности полета $s_{max}$ при заданных $h$ и $V_{0}$ соответствует знак равенства. Подстановка $s_{max}$ в выражение для $tg \alpha$ определяет и угол, под которым нужно бросить камень:
$tg \alpha = \frac{V_{0}}{ \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}}$.
Представляет интерес проверить некоторые предельные случаи. При $h = 0$ имеем $s_{max} = V_{0}^{}/g$ и $tg \alpha = 1$. В этом случае мы имеем задачу о максимальной дальности бросания с поверхности Земли. При $h \rightarrow \infty$ (что следует понимать в смысле $V_{0} \ll \sqrt{gh}$) получаем $s_{max} = V_{0} \sqrt{2h/g}, tg \alpha = 0$: с очень высокого небоскреба камень следует бросать почти горизонтально и его дальность полета равна произведению скорости $V_{0}$ на время падения $\sqrt{2h/g}$.
Ответ: $\alpha = arctg \left ( \frac{V_{0}}{ \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}} \right ); s_{max} = \frac{V_{0} \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
Из окна комнаты, расположенной на высоте $h$, бросают камень с начальной скоростью $V_{0}$.
1) Под каким углом $\alpha$ к горизонту следует бросить камень, чтобы он улетел как можно дальше от окна?
2) На какое максимальное расстояние $s_{max}$ от окна по горизонтали он удалится?
Решение:
Сразу очевидно, что бросать камень нужно под некоторым углом вверх. Действительно, бросая камень с заданной скоростью под углом вниз, мы уменьшаем как горизонтальную составляющую скорости, так и время полета по сравнению с их значениями, в случае, когда камень бросают горизонтально. При бросании камня под небольшим углом вверх мы почти не меняем горизонтальной составляющей скорости ($\cos \alpha \approx 1$), но увеличиваем время падения камня, ибо сначала он поднимается и это время становится равным $\frac{V_{0} \sin \alpha}{g} + \sqrt{ \frac{2}{g} \left ( h + \frac{V_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g} \right )}$ вместо $\sqrt{ \frac{2h}{g}}$ при бросании по горизонтали.
Пусть камень брошен из окна под углом $\alpha$ к горизонту и упал на Землю на расстоянии $s$ от стены дома. Запишем выражение для его перемещений по горизонтали и вертикали:
$s = V_{0} \cos \alpha t$,
$h = - V_{0} \sin \alpha t + \frac{gt^{2}}{2}$.
Выражая время полета t из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
$h = - s tg \alpha + \frac{gs^{2}}{2V_{0}^{2}}(1 + tg^{2} \alpha)$.
Здесь использовано тригонометрическое тождество $1/ \cos 2 \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$.
Теперь можно выразить дальность полета по горизонтали $s$ из уравнения для $h$ и исследовать получившееся выражение на экстремум в зависимости от угла $\alpha$. Однако проще поступить иначе. Решаем это уравнение как квадратное относительно $tg \alpha$ и получаем:
$tg \alpha = \frac{V_{0}^{2} \pm \sqrt{ V_{0}^{4} - g^{2}s^{2} + 2V_{0}^{2} gh}}{gs}$.
Физический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
$V_{0}^{4} + 2vV_{0}^{2}gh - g^{2}s^{2} \geq 0$.
Отсюда получаем неравенство для дальности полета камня по горизонтали
$s \leq \frac{V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
Максимальной дальности полета $s_{max}$ при заданных $h$ и $V_{0}$ соответствует знак равенства. Подстановка $s_{max}$ в выражение для $tg \alpha$ определяет и угол, под которым нужно бросить камень:
$tg \alpha = \frac{V_{0}}{ \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}}$.
Представляет интерес проверить некоторые предельные случаи. При $h = 0$ имеем $s_{max} = V_{0}^{}/g$ и $tg \alpha = 1$. В этом случае мы имеем задачу о максимальной дальности бросания с поверхности Земли. При $h \rightarrow \infty$ (что следует понимать в смысле $V_{0} \ll \sqrt{gh}$) получаем $s_{max} = V_{0} \sqrt{2h/g}, tg \alpha = 0$: с очень высокого небоскреба камень следует бросать почти горизонтально и его дальность полета равна произведению скорости $V_{0}$ на время падения $\sqrt{2h/g}$.
Ответ: $\alpha = arctg \left ( \frac{V_{0}}{ \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}} \right ); s_{max} = \frac{V_{0} \sqrt{ V_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
