Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2042
2017-01-12 
Камень бросают из точки О под углом $\alpha$ к наклонной плоскости, образующей угол $\beta$ с горизонтом. Траектория камня проходит через точку А, положение которой известно (см. рис.) Найти построением место падения камня на наклонную плоскость. Чему равно расстояние до места падения?
Решение:
рис.1
рис.2
Обозначим точку падения камня на наклонную плоскость через D и изобразим перемещения $\vec{r}$ и $\vec{r}_{1}$ камня в точки А и D (рис.) в соответствии с уравнениями
$\vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g} t^{2}}{2}, \vec{r}_{1} = \vec{v}_{0} t_{1} + \frac{gt_{1}^{2}}{2}$,
Из подобия треугольников ОВС и OED на рис. следует:
$\frac{OB}{OE} = \frac{v_{0}t}{v_{0}t_{1}} = \frac{h + gt^{2}/2}{gt_{1}^{2}/2}, \frac{OC}{CD} = \frac{v_{0}t}{v_{0}(t_{1}-t)} = \frac{t}{t_{1} - t}$.
Из первого выражения находим $h = \frac{gt}{2}(t_{1} - t)$ и, сравнивая отношения длин отрезков $\frac{OC}{CD}$ и $\frac{BA}{AC} = \frac{gt^{2}/2}{(gt/2)(t-t_{1})} = \frac{t}{(t_{1}-t)}$, получаем: $CD = OC \frac{AC}{AB} = l \frac{AC}{AB}$.
Последнее соотношение позволяет сформулировать алгоритм построения точки D.
Проводим вертикаль через точку А и строим точку В. Откладываем отрезок $CA_{1} = AC$ и отрезок $CF = AB$. Соединяем отрезком прямой точки О и F. Проводим через точку $A_{1}$ прямую, параллельную ОF. Пересечение этой прямой с наклонной плоскостью и определяет точку падения камня D. Действительно, из подобия треугольников ОFС и $DA_{1}C$ следует равенство
$\frac{CD}{OC} = \frac{AC}{AB}$,
совпадающее с полученным выше.
Для определения расстояния до места падения $OD = OC + CD = l \cdot \left ( 1 + \frac{AC}{CB} \right )$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника OBC (рис.): $\frac{l}{ \sin ( \pi /2 - \alpha + \beta)} = \frac{BC}{ \sin \alpha}$. ) Отсюда
$OD = l \left ( 1 + \frac{h}{BC - h} \right ) = l \left ( 1 + \frac{h}{ \frac{l \sin \alpha}{ \cos ( \alpha - \beta)} - h } \right )$.
Камень бросают из точки О под углом $\alpha$ к наклонной плоскости, образующей угол $\beta$ с горизонтом. Траектория камня проходит через точку А, положение которой известно (см. рис.) Найти построением место падения камня на наклонную плоскость. Чему равно расстояние до места падения?
Решение:
рис.1
рис.2
Обозначим точку падения камня на наклонную плоскость через D и изобразим перемещения $\vec{r}$ и $\vec{r}_{1}$ камня в точки А и D (рис.) в соответствии с уравнениями
$\vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g} t^{2}}{2}, \vec{r}_{1} = \vec{v}_{0} t_{1} + \frac{gt_{1}^{2}}{2}$,
Из подобия треугольников ОВС и OED на рис. следует:
$\frac{OB}{OE} = \frac{v_{0}t}{v_{0}t_{1}} = \frac{h + gt^{2}/2}{gt_{1}^{2}/2}, \frac{OC}{CD} = \frac{v_{0}t}{v_{0}(t_{1}-t)} = \frac{t}{t_{1} - t}$.
Из первого выражения находим $h = \frac{gt}{2}(t_{1} - t)$ и, сравнивая отношения длин отрезков $\frac{OC}{CD}$ и $\frac{BA}{AC} = \frac{gt^{2}/2}{(gt/2)(t-t_{1})} = \frac{t}{(t_{1}-t)}$, получаем: $CD = OC \frac{AC}{AB} = l \frac{AC}{AB}$.
Последнее соотношение позволяет сформулировать алгоритм построения точки D.
Проводим вертикаль через точку А и строим точку В. Откладываем отрезок $CA_{1} = AC$ и отрезок $CF = AB$. Соединяем отрезком прямой точки О и F. Проводим через точку $A_{1}$ прямую, параллельную ОF. Пересечение этой прямой с наклонной плоскостью и определяет точку падения камня D. Действительно, из подобия треугольников ОFС и $DA_{1}C$ следует равенство
$\frac{CD}{OC} = \frac{AC}{AB}$,
совпадающее с полученным выше.
Для определения расстояния до места падения $OD = OC + CD = l \cdot \left ( 1 + \frac{AC}{CB} \right )$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника OBC (рис.): $\frac{l}{ \sin ( \pi /2 - \alpha + \beta)} = \frac{BC}{ \sin \alpha}$. ) Отсюда
$OD = l \left ( 1 + \frac{h}{BC - h} \right ) = l \left ( 1 + \frac{h}{ \frac{l \sin \alpha}{ \cos ( \alpha - \beta)} - h } \right )$.
