Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2041
2017-01-12 
Тело падает без начальной скорости с высоты $H$ на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, и упруго отражается от нее (см. рис.). На каком расстоянии $l$ от места первого отскока тело вторично упадет на наклонную плоскость?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Прежде всего, отметим, что нецелесообразно пытаться записать единое уравнение движения тела, включающее его первоначальное падение по вертикали. Так как в момент удара о наклонную плоскость скорость тела меняется скачком, то его движение будет равнопеременным только до первого соударения с наклонной плоскостью и в промежутках между последующими соударениями.
Рассмотрим вектор перемещения тела г между первым и вторым столкновениями.
Для него справедливо:
$\vec{r} = \vec{v}_{0}t + \vec{g} \frac{t^{2}}{2}$, (1)
где $\vec{v}_{0}$ — скорость тела сразу после первого соударения с наклонной плоскостью. В силу упругого характера столкновения модуль скорости одинаков до и после соударения, т. е. $v_{0}^{2} = 2gH$, а угол между вектором $\vec{v}_{0}$ и нормалью к плоскости равен $\alpha$ (рис. 1).
Дальнейшее решение сводится к определению интересующей нас величины из уравнения (1). Это можно сделать разными способами. Может быть использован стандартный прием проектирования (1) на оси системы координат. При этом преобразования будут более или менее громоздкими в зависимости от выбора координатных осей.
Например, если направить оси $x$ и $y$ по горизонтали и вертикали, то дальнейшие преобразования запишутся следующим образом:
$x : l \cos \alpha = v_{0} t \sin 2 \alpha$,
$y : - l \sin \alpha = v_{0}t \cos 2 \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)
Здесь $l$ — модуль вектора $\vec{r}$, равный искомому расстоянию между точками касания тела с наклонной плоскостью. Выражая из первого уравнения (2) величину $t$:
$t = \frac{l \cos \alpha}{ v_{0} \sin 2 \alpha} = \frac{l}{2 v_{0} \sin \alpha}$
и подставляя во второе уравнение, найдем:
$-l \sin \alpha = v_{0} \cos 2 \alpha \frac{l}{2v_{0} \sin \alpha} - \frac{g}{2} \frac{l^{2}}{4v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}$. (3)
Сокращая на $l \neq 0$ и объединяя слагаемые, не содержащие $l$, получим:
$\frac{ \cos 2 \alpha}{2 \sin \alpha} + \sin \alpha = \frac{ \cos 2 \alpha + 2 \sin^{2} \alpha}{2 \sin \alpha} = frac{1}{ 2 \sin \alpha}$. (4)
Теперь из (3) находим: $l = \frac{ 4 v_{0}^{2} \sin \alpha}{g}$ или, подставляя $v_{0}^{2} = 2gH$, окончательно
$l = 8H \sin \alpha$.
Выкладки можно сделать проще, если проектировать (1) на оси $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$ (рис. 2).
В этом случае имеем:
$x^{ \prime} : l = v_{0}t \sin \alpha + \frac{g \sin \alpha}{2} t^{2}$.
$y^{ \prime} : 0 = v_{0}t \cos \alpha - \frac{g \cos \alpha}{2} t^{2}$. (5)
Теперь из второго уравнения немедленно находим $t = 2v_{0}/g$ — время полета до второго соударения не зависит от угла наклона плоскости. Подставляя $t$ в первое уравнение (5), имеем:
$l = \frac{4v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha = 8H \sin \alpha$.
Ответ можно получить, и не прибегая к проектированию на оси координат. Для этого заметим, что равенство (1), как и всякое векторное равенство, где сумма двух векторов равна третьему, соответствует треугольнику (рис. 3). Вектор $\vec{r}$ направлен вдоль наклонной плоскости из точки первого касания тела с наклонной плоскостью во вторую. Вектор $\vec{v}_{0}t$ направлен вдоль вектора $\vec{v}_{0}$ и начинается в точке первого касания тела с наклонной плоскостью. Вектор $\vec{g}t^{2}/2$ направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке, что и вектор $\vec{r}$. Треугольник перемещений изображен на рис. 3. Поскольку два угла в этом треугольнике равны, он равнобедренный. Это немедленно дает равенство:
$v_{0}t = \frac{gt^{2}}{2}$,
откуда $t = 2v_{0}/g$. Теперь получаем:
$l = 2 v_{0} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac{4v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha = 8H \sin \alpha$.
Ответ: $l = 8H \sin \alpha$.
Тело падает без начальной скорости с высоты $H$ на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, и упруго отражается от нее (см. рис.). На каком расстоянии $l$ от места первого отскока тело вторично упадет на наклонную плоскость?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Прежде всего, отметим, что нецелесообразно пытаться записать единое уравнение движения тела, включающее его первоначальное падение по вертикали. Так как в момент удара о наклонную плоскость скорость тела меняется скачком, то его движение будет равнопеременным только до первого соударения с наклонной плоскостью и в промежутках между последующими соударениями.
Рассмотрим вектор перемещения тела г между первым и вторым столкновениями.
Для него справедливо:
$\vec{r} = \vec{v}_{0}t + \vec{g} \frac{t^{2}}{2}$, (1)
где $\vec{v}_{0}$ — скорость тела сразу после первого соударения с наклонной плоскостью. В силу упругого характера столкновения модуль скорости одинаков до и после соударения, т. е. $v_{0}^{2} = 2gH$, а угол между вектором $\vec{v}_{0}$ и нормалью к плоскости равен $\alpha$ (рис. 1).
Дальнейшее решение сводится к определению интересующей нас величины из уравнения (1). Это можно сделать разными способами. Может быть использован стандартный прием проектирования (1) на оси системы координат. При этом преобразования будут более или менее громоздкими в зависимости от выбора координатных осей.
Например, если направить оси $x$ и $y$ по горизонтали и вертикали, то дальнейшие преобразования запишутся следующим образом:
$x : l \cos \alpha = v_{0} t \sin 2 \alpha$,
$y : - l \sin \alpha = v_{0}t \cos 2 \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)
Здесь $l$ — модуль вектора $\vec{r}$, равный искомому расстоянию между точками касания тела с наклонной плоскостью. Выражая из первого уравнения (2) величину $t$:
$t = \frac{l \cos \alpha}{ v_{0} \sin 2 \alpha} = \frac{l}{2 v_{0} \sin \alpha}$
и подставляя во второе уравнение, найдем:
$-l \sin \alpha = v_{0} \cos 2 \alpha \frac{l}{2v_{0} \sin \alpha} - \frac{g}{2} \frac{l^{2}}{4v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}$. (3)
Сокращая на $l \neq 0$ и объединяя слагаемые, не содержащие $l$, получим:
$\frac{ \cos 2 \alpha}{2 \sin \alpha} + \sin \alpha = \frac{ \cos 2 \alpha + 2 \sin^{2} \alpha}{2 \sin \alpha} = frac{1}{ 2 \sin \alpha}$. (4)
Теперь из (3) находим: $l = \frac{ 4 v_{0}^{2} \sin \alpha}{g}$ или, подставляя $v_{0}^{2} = 2gH$, окончательно
$l = 8H \sin \alpha$.
Выкладки можно сделать проще, если проектировать (1) на оси $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$ (рис. 2).
В этом случае имеем:
$x^{ \prime} : l = v_{0}t \sin \alpha + \frac{g \sin \alpha}{2} t^{2}$.
$y^{ \prime} : 0 = v_{0}t \cos \alpha - \frac{g \cos \alpha}{2} t^{2}$. (5)
Теперь из второго уравнения немедленно находим $t = 2v_{0}/g$ — время полета до второго соударения не зависит от угла наклона плоскости. Подставляя $t$ в первое уравнение (5), имеем:
$l = \frac{4v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha = 8H \sin \alpha$.
Ответ можно получить, и не прибегая к проектированию на оси координат. Для этого заметим, что равенство (1), как и всякое векторное равенство, где сумма двух векторов равна третьему, соответствует треугольнику (рис. 3). Вектор $\vec{r}$ направлен вдоль наклонной плоскости из точки первого касания тела с наклонной плоскостью во вторую. Вектор $\vec{v}_{0}t$ направлен вдоль вектора $\vec{v}_{0}$ и начинается в точке первого касания тела с наклонной плоскостью. Вектор $\vec{g}t^{2}/2$ направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке, что и вектор $\vec{r}$. Треугольник перемещений изображен на рис. 3. Поскольку два угла в этом треугольнике равны, он равнобедренный. Это немедленно дает равенство:
$v_{0}t = \frac{gt^{2}}{2}$,
откуда $t = 2v_{0}/g$. Теперь получаем:
$l = 2 v_{0} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac{4v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha = 8H \sin \alpha$.
Ответ: $l = 8H \sin \alpha$.
