2017-01-12
Трамвай движется по круговому повороту радиусом $R$ на $90^{ \circ}$ с постоянным тангенциальным ускорением, причем в начале поворота на скорости $V_{0}$ нормальное ускорение по модулю в два раза превышало тангенциальное ускорение. Найдите соотношение между нормальным $a_{n}$ и тангенциальным $a_{t}$ ускорением при завершении поворота.
Решение:
В начале поворота модуль нормального ускорения равен $V_{0}^{2}/R$. Следовательно, тангенциальное ускорение $a_{t} = \pm V_{0}^{2}/(2R)$. Знак "+" ("-") отвечает прохождению поворота с увеличением (уменьшением) скорости. Время поворота $t$ можно определить из уравнения:
$\frac{ \pi R}{4} = V_{0} t + \frac{a_{t}^{2} t^{2}}{2}$.
Подставляя $t$ в уравнение для скорости $V = V_{0} + at$, находим скорость при завершении поворота: $V = \sqrt{ V_{0}^{2} + \pi a_{t} R}$. Теперь нормальное ускорение можно связать с тангенциальным:
$a_{n} = \frac{V^{2}}{R} = \frac{V_{2}^{2}}{R} + \pi a_{t} = \frac{V_{0}^{2}}{2R} (2 \pm \pi) = |a_{t}| (2 \pm \pi)$.
Ответ: $a_{n} = |a_{ \tau}| (2 \pm \pi)$.