Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2035
2017-01-12 
Пригородный поезд отправляется строго по расписанию ровно в 12 часов дня и движется с постоянным ускорением. Пассажир, часы которого отстают, выбегает на платформу ровно в 12 часов по своим часам и видит уже движущийся поезд, причем за $t$ секунд мимо него проходит один вагон, а за следующие $t$ секунд — уже 2 вагона.
а) На сколько отстают часы пассажира?
б) Тот же вопрос, если за вторые $t$ секунд проходят 3 вагона.
в) Тот же вопрос, если за вторые $t$ секунд проходят 4 вагона.
Решение:
Если часы пассажира отстают на $t_{1}$ секунд, то в 12 часов по его часам поезд уже движется в течение $t_{1}$ секунд, пройдя расстояние, равное $at_{1}^{2}/2$, где $a$ — ускорение поезда. Еще через $t$ секунд поезд проходит расстояние, равное длине вагона. Следовательно, длина вагона $l$ определяется разностью
$l = \frac{a(t_{1}+t)^{2}}{2} - \frac{at_{1}^{2}}{2}$. (1}
Спустя еще $t$ секунд поезд находится в движении в течение времени $t_{1} + 2t$ и за последние $t$ секунд проходит расстояние, равное длине двух вагонов. Поэтому
$2l = \frac{ \alpha ( t_{1} + 2t)^{2}}{2} - \frac{ \alpha (t_{1} + t)^{2}}{2}$. (2)
Выражая $l$ из уравнений (1) и (2), приходим к уравнению
$2(t_{1} + t)^{2} - 2t_{1}^{2} = (t_{1} + 2t)^{2} - (t_{1} + t)^{2}$, (3)
решая которое, находим
$t_{1} = \frac{t}{2}$. (4)
Теперь рассмотрим случай, когда за вторые $t$ секунд мимо пассажира прошло не два, а три или четыре вагона. Коэффициент перед $l$ в левой части уравнения (2) будет теперь равен трем или четырем соответственно. Решая это уравнение, мы в первом случае найдем $t_{1} = 0$, т. е. в действительности часы пассажира идут точно. Во втором случае решение уравнения даст значение $t_{1} = - t /6$.
Можно ли отсюда сделать вывод, что часы пассажира в действительности не отстают, а спешат на $t_{1}^{ \prime} = t/6$? Тогда картина выглядела бы следующим образом: пассажир выбегает на платформу раньше 12 часов и ему только кажется, что поезд уже движется, а в действительности он еще стоит, а только затем происходит все описанное в условии задачи.
Нетрудно сообразить, что такой вывод был бы верным только частично: часы пассажира действительно спешат, но чтобы выяснить, на сколько, необходимо изменить систему уравнений. Действительно, соотношение (1) в этом случае не имеет смысла: спустя время $t$ после 12 часов (по спешащим часам пассажира) поезд будет находиться в движении в течение $t — |t_{1}|$ секунд и путь, проходимый поездом за время $t - |t_{1}| = t + t_{1}$ при отрицательном $t_{1}$ будет даваться одним первым слагаемым в выражении (1). Отметим, что второе уравнение (2) сохраняет смысл и в этом случае.
Тогда вместо (3) имеем уравнение
$4(t_{1} + t)^{2} = (t_{1} + 2t)^{2} - (t_{1} + t)^{2}$,
откуда
$t_{1} = - \frac{ \sqrt{5} -2}{ \sqrt{5} - 1} t$.
Теперь видно, с какой осторожностью следует подходить к интерпретации корней уравнения, имеющих не тот знак, который ожидается из физических соображений. Во всяком случае, необходимо проверить, сохраняет ли смысл исходная система уравнений.
Если бы с самого начала мы начали рассматривать два различных случая — когда часы пассажира отстают и спешат, мы получили бы для этих случаев разные системы уравнений: математические модели этих двух ситуаций оказываются различными, несмотря на кажущееся сходство — определенную симметрию этих ситуаций.
Приведенные соображения становятся более очевидными, если вспомнить, что при равноускоренном движении пути, проходимые в последовательные одинаковые промежутки времени относятся как $1 : 3 : 5 \cdots$, в то время как сделанное предположение (4 вагона за вторые $t$ секунд) соответствовало бы более резкому увеличению проходимых путей. Отметим, что опираясь на приведенный факт, можно сразу сказать, что $t_{1} = 0$ (часы пассажира идут точно) в случае, когда за вторые $t$ секунд мимо пассажира проходят три вагона, если за первые $t$ секунд прошел один.
Ответ: а) часы отстают на $t_{1} = t/2$; б) часы идут правильно; в) часы спешат на $t_{1} = \frac{ \sqrt{5} - 2}{ \sqrt{5} - 1} t$.
Пригородный поезд отправляется строго по расписанию ровно в 12 часов дня и движется с постоянным ускорением. Пассажир, часы которого отстают, выбегает на платформу ровно в 12 часов по своим часам и видит уже движущийся поезд, причем за $t$ секунд мимо него проходит один вагон, а за следующие $t$ секунд — уже 2 вагона.
а) На сколько отстают часы пассажира?
б) Тот же вопрос, если за вторые $t$ секунд проходят 3 вагона.
в) Тот же вопрос, если за вторые $t$ секунд проходят 4 вагона.
Решение:
Если часы пассажира отстают на $t_{1}$ секунд, то в 12 часов по его часам поезд уже движется в течение $t_{1}$ секунд, пройдя расстояние, равное $at_{1}^{2}/2$, где $a$ — ускорение поезда. Еще через $t$ секунд поезд проходит расстояние, равное длине вагона. Следовательно, длина вагона $l$ определяется разностью
$l = \frac{a(t_{1}+t)^{2}}{2} - \frac{at_{1}^{2}}{2}$. (1}
Спустя еще $t$ секунд поезд находится в движении в течение времени $t_{1} + 2t$ и за последние $t$ секунд проходит расстояние, равное длине двух вагонов. Поэтому
$2l = \frac{ \alpha ( t_{1} + 2t)^{2}}{2} - \frac{ \alpha (t_{1} + t)^{2}}{2}$. (2)
Выражая $l$ из уравнений (1) и (2), приходим к уравнению
$2(t_{1} + t)^{2} - 2t_{1}^{2} = (t_{1} + 2t)^{2} - (t_{1} + t)^{2}$, (3)
решая которое, находим
$t_{1} = \frac{t}{2}$. (4)
Теперь рассмотрим случай, когда за вторые $t$ секунд мимо пассажира прошло не два, а три или четыре вагона. Коэффициент перед $l$ в левой части уравнения (2) будет теперь равен трем или четырем соответственно. Решая это уравнение, мы в первом случае найдем $t_{1} = 0$, т. е. в действительности часы пассажира идут точно. Во втором случае решение уравнения даст значение $t_{1} = - t /6$.
Можно ли отсюда сделать вывод, что часы пассажира в действительности не отстают, а спешат на $t_{1}^{ \prime} = t/6$? Тогда картина выглядела бы следующим образом: пассажир выбегает на платформу раньше 12 часов и ему только кажется, что поезд уже движется, а в действительности он еще стоит, а только затем происходит все описанное в условии задачи.
Нетрудно сообразить, что такой вывод был бы верным только частично: часы пассажира действительно спешат, но чтобы выяснить, на сколько, необходимо изменить систему уравнений. Действительно, соотношение (1) в этом случае не имеет смысла: спустя время $t$ после 12 часов (по спешащим часам пассажира) поезд будет находиться в движении в течение $t — |t_{1}|$ секунд и путь, проходимый поездом за время $t - |t_{1}| = t + t_{1}$ при отрицательном $t_{1}$ будет даваться одним первым слагаемым в выражении (1). Отметим, что второе уравнение (2) сохраняет смысл и в этом случае.
Тогда вместо (3) имеем уравнение
$4(t_{1} + t)^{2} = (t_{1} + 2t)^{2} - (t_{1} + t)^{2}$,
откуда
$t_{1} = - \frac{ \sqrt{5} -2}{ \sqrt{5} - 1} t$.
Теперь видно, с какой осторожностью следует подходить к интерпретации корней уравнения, имеющих не тот знак, который ожидается из физических соображений. Во всяком случае, необходимо проверить, сохраняет ли смысл исходная система уравнений.
Если бы с самого начала мы начали рассматривать два различных случая — когда часы пассажира отстают и спешат, мы получили бы для этих случаев разные системы уравнений: математические модели этих двух ситуаций оказываются различными, несмотря на кажущееся сходство — определенную симметрию этих ситуаций.
Приведенные соображения становятся более очевидными, если вспомнить, что при равноускоренном движении пути, проходимые в последовательные одинаковые промежутки времени относятся как $1 : 3 : 5 \cdots$, в то время как сделанное предположение (4 вагона за вторые $t$ секунд) соответствовало бы более резкому увеличению проходимых путей. Отметим, что опираясь на приведенный факт, можно сразу сказать, что $t_{1} = 0$ (часы пассажира идут точно) в случае, когда за вторые $t$ секунд мимо пассажира проходят три вагона, если за первые $t$ секунд прошел один.
Ответ: а) часы отстают на $t_{1} = t/2$; б) часы идут правильно; в) часы спешат на $t_{1} = \frac{ \sqrt{5} - 2}{ \sqrt{5} - 1} t$.
