ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-01-12   
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $V_{0} = 21 м/с$. Определить время $\Delta t$ между моментами прохождения телом половины максимальной высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.


Решение:


Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх. Считая, что тело брошено в момент $t = 0$ с нулевой высоты, имеем:

$h = V_{0}t - \frac{gt^{2}}{2}$. (1)

Нас интересует высота $h$, равная половине максимальной высоты подъема тела $h_{max} = V_{0}^{2}/(2g)$. Поэтому уравнение (1) записывается в виде:

$\frac{V_{0}^{2}}{4g} = V_{0}t - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решая его, находим:

$t_{1,2} = \frac{V_{0}}{g} \pm \frac{V_{0}}{ \sqrt{2} g}$. (3)

Корень $t_{1} = V_{0}/( \sqrt{2} g)$ соответствует моменту времени, в который тело побывает на высоте $h_{max}/2$ при подъеме, а $t_{2} = V_{0}/g + V_{0}/(\sqrt{2}g)$ — при спуске. Искомый промежуток времени $\Delta t$, равен разности $t_{2} - t_{1}$. Поэтому получаем:

$\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{V_{0}}{g} \sqrt{2}$. (4)

Задачу можно решить проще. Для этого обозначим скорость тела на половине максимальной высоты через $V_{1}$. Тогда $h_{max}/2 = V_{0}^{2}/(4g)$ будет максимальной высотой подъема для тела, движущегося со скоростью $V_{1}$:

$\frac{V_{1}^{2}}{2g} = \frac{V_{0}^{2}}{4g}$. (5)

откуда $V_{1} = V_{0}/ \sqrt{2}$. Суммарное время подъема и спуска тела, брошенного с такой скоростью, очевидно, равна интересующему нас промежутку времени:

$\Delta t = 2 \frac{V_{1}}{g} = \frac{V_{0}}{g} \sqrt{2}$.

Ответ: $\Delta t = \frac{ V_{0} \sqrt{2}}{g} \approx 3 с$.