Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2031
2017-01-12 
Четыре мухи, сидящие в вершинах квадрата, начинают одновременно равномерно двигаться таким образом, что в каждый момент времени вектор скорости каждой "предыдущей" мухи направлен на "последующую". Где мухи встретятся и через какое время, если скорость их движения $V$, а сторона квадрата равна $l$?
Решение:
Из соображений симметрии (все мухи в одинаковом положении) ясно, что их встреча произойдет в центре квадрата. В любой момент времени до встречи мухи находятся в вершинах квадрата, который непрерывно поворачивается, уменьшаясь по величине (рис.). Разложим вектор скорости $\vec{V}$ мухи в произвольный момент времени на две взаимно перпендикулярные составляющие $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, одна из которых $( \vec{V}_{1})$ направлена к центру квадрата О. Тогда легко видеть, что расстояние $l \sqrt{2}/2$ от вершины до центра квадрата преодолевается именно благодаря этой составляющей, поскольку за счет $\vec{V}_{2}$ муха не приближается к центру квадрата (рис.). Учитывая, что $V_{1} = V / \sqrt{2}$, для времени движения получаем:
$t = \frac{l \sqrt{2}/2}{V / \sqrt{2}} = \frac{l}{V}$. (1)
К результату (1) можно прийти и проще, если сообразить, что вектор постоянной по модулю скорости каждой мухи все время направлен на "догоняемую" муху, а первоначальное расстояние между мухами равно $l$. Скорость мухи направлена перпендикулярно скорости догоняемой мухи, поэтому расстояние между мухами не меняется за счет движения догоняемой мухи.
Ответ: $t = l/V$.
Четыре мухи, сидящие в вершинах квадрата, начинают одновременно равномерно двигаться таким образом, что в каждый момент времени вектор скорости каждой "предыдущей" мухи направлен на "последующую". Где мухи встретятся и через какое время, если скорость их движения $V$, а сторона квадрата равна $l$?
Решение:
Из соображений симметрии (все мухи в одинаковом положении) ясно, что их встреча произойдет в центре квадрата. В любой момент времени до встречи мухи находятся в вершинах квадрата, который непрерывно поворачивается, уменьшаясь по величине (рис.). Разложим вектор скорости $\vec{V}$ мухи в произвольный момент времени на две взаимно перпендикулярные составляющие $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, одна из которых $( \vec{V}_{1})$ направлена к центру квадрата О. Тогда легко видеть, что расстояние $l \sqrt{2}/2$ от вершины до центра квадрата преодолевается именно благодаря этой составляющей, поскольку за счет $\vec{V}_{2}$ муха не приближается к центру квадрата (рис.). Учитывая, что $V_{1} = V / \sqrt{2}$, для времени движения получаем:
$t = \frac{l \sqrt{2}/2}{V / \sqrt{2}} = \frac{l}{V}$. (1)
К результату (1) можно прийти и проще, если сообразить, что вектор постоянной по модулю скорости каждой мухи все время направлен на "догоняемую" муху, а первоначальное расстояние между мухами равно $l$. Скорость мухи направлена перпендикулярно скорости догоняемой мухи, поэтому расстояние между мухами не меняется за счет движения догоняемой мухи.
Ответ: $t = l/V$.
