Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2030
2017-01-12 
Человек находится в поле на расстоянии $l = 60 м$ от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя, на расстоянии $x_{0}$ вдоль шоссе он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы успеть сесть в автобус? При каких значениях $x_{0}$ это возможно? Скорость автобуса $V_{a} = 16 м/с$, скорость человека $V_{ч} = 4 м/с$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Желая сесть в автобус, нужно выбежать как можно дальше впереди него. С другой стороны, чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым углом к перпендикуляру, то путь человека до шоссе увеличится на величину $\Delta l$, но зато он выбежит на дорогу на расстояние $d$ левее точки В. Если выбрать угол $\alpha$ достаточно малым, то расстояние $d$ можно сделать больше расстояния $\Delta l$ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то, что скорость человека меньше скорости автобуса, он окажется на шоссе впереди автобуса на большем расстоянии, чем, если выбежит в точке В. Под каким же углом a к перпендикуляру к шоссе следует бежать человеку?
Рассмотрим сначала чисто алгебраический метод решения. Пусть человек бежит под углом a к перпендикуляру к шоссе. Время, через которое он выбежит на дорогу, определяется соотношением:
$t = \frac{l}{V_{ч} \cos \alpha}$.
Если человек появляется на дороге, когда к этому месту подъезжает автобус, то (рис. 1)
$x_{0} + l \cdot tg \alpha = V_{A} t = V_{A} \frac{l}{V_{ч} \cos \alpha}$.
Откуда
$x_{0} = l \left ( \frac{V_{A}}{V_{ч} \cos \alpha} - tg \alpha \right )$. (1)
Чем меньше расстояние $x_{0}$, тем лучше выбрана "стратегия": человек успевает на автобус, позже заметив последний. Задача, таким образом, заключается в выборе угла $\alpha$, при котором правая часть (1) минимальна. Его можно найти, взяв производную функции $x_{0} = f( \alpha)$. Получаем:
$\sin \alpha = \frac{V_{ч}}{V_{A}}$. (2)
Теперь минимальное значение $x_{0}$, при котором успеть на автобус еще возможно, находится из (1):
$x_{0min} = l \cdot \frac{V_{A}/V_{ч} - V_{ч}/V_{A}}{ \sqrt{ 1 - (V_{ч}/V_{A})^{2}}}$
Соотношение (2) может быть получено и иначе, если привлечь "геометрические" соображения. В произвольную точку шоссе D (рис.2) автобус придет за время $t = s/V_{A}$, где $s$ — длина участка СD шоссе. В эту же точку за время, равное или меньшее $t$, человек может попасть, если он находится в пределах круга радиуса $r = V_{ч} t$ с центром в точке D. Начертив подобные круги для других точек, расположенных на шоссе, получаем область, из которой человек всегда успеет сесть в автобус. Границами ее являются две общие касательные к окружностям, составляющие с линией шоссе угол $\alpha$, равный углу, под которым нужно бежать к перпендикуляру к шоссе. Этот угол определяется равенством:
$\sin \alpha = \frac{r}{s} = \frac{V_{ч}}{V_{A}}$.
Еще проще выглядит решение, если перейти в систему отсчета, в которой автобус покоится (рис. 3). Эта система отсчета движется относительно земли влево со скоростью $\vec{V}_{A}$. Неподвижно стоящий на земле человек имеет в ней скорость $- \vec{V}_{A}$, направленную вправо. Скорость бегущего человека $\vec{V}$ в этой системе отсчета равна векторной сумме $- \vec{V}_{A}$ и скорости человека относительно земли $\vec{V}_{ч}$. Поскольку модуль скорости человека $V_{ч}$ постоянен, конец этого вектора лежит на окружности. Соединяя начало вектора $- \vec{V}_{A}$ с концом вектора $\vec{V}_{ч}$, получаем вектор результирующей скорости $\vec{V}$. Если, двигаясь в направлении этого вектора, человек окажется на дороге левее автобуса, то успеет на него. Из рисунка 3 видно, что оптимальный угол удовлетворяет соотношению (2) и составляет около $14,5^{ \circ}$.
Ответ: бежать следует под углом $\alpha = arcsin(V_{ч}/V_{A}) \approx 14,5^{ \circ}$ к шоссе; $x_{0} \geq l \cdot \frac{V_{A}/V_{ч} - V_{ч}/V_{A}}{ \sqrt{ 1 - (V_{ч}/V_{A})^{2}}}$.
Человек находится в поле на расстоянии $l = 60 м$ от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя, на расстоянии $x_{0}$ вдоль шоссе он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы успеть сесть в автобус? При каких значениях $x_{0}$ это возможно? Скорость автобуса $V_{a} = 16 м/с$, скорость человека $V_{ч} = 4 м/с$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Желая сесть в автобус, нужно выбежать как можно дальше впереди него. С другой стороны, чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым углом к перпендикуляру, то путь человека до шоссе увеличится на величину $\Delta l$, но зато он выбежит на дорогу на расстояние $d$ левее точки В. Если выбрать угол $\alpha$ достаточно малым, то расстояние $d$ можно сделать больше расстояния $\Delta l$ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то, что скорость человека меньше скорости автобуса, он окажется на шоссе впереди автобуса на большем расстоянии, чем, если выбежит в точке В. Под каким же углом a к перпендикуляру к шоссе следует бежать человеку?
Рассмотрим сначала чисто алгебраический метод решения. Пусть человек бежит под углом a к перпендикуляру к шоссе. Время, через которое он выбежит на дорогу, определяется соотношением:
$t = \frac{l}{V_{ч} \cos \alpha}$.
Если человек появляется на дороге, когда к этому месту подъезжает автобус, то (рис. 1)
$x_{0} + l \cdot tg \alpha = V_{A} t = V_{A} \frac{l}{V_{ч} \cos \alpha}$.
Откуда
$x_{0} = l \left ( \frac{V_{A}}{V_{ч} \cos \alpha} - tg \alpha \right )$. (1)
Чем меньше расстояние $x_{0}$, тем лучше выбрана "стратегия": человек успевает на автобус, позже заметив последний. Задача, таким образом, заключается в выборе угла $\alpha$, при котором правая часть (1) минимальна. Его можно найти, взяв производную функции $x_{0} = f( \alpha)$. Получаем:
$\sin \alpha = \frac{V_{ч}}{V_{A}}$. (2)
Теперь минимальное значение $x_{0}$, при котором успеть на автобус еще возможно, находится из (1):
$x_{0min} = l \cdot \frac{V_{A}/V_{ч} - V_{ч}/V_{A}}{ \sqrt{ 1 - (V_{ч}/V_{A})^{2}}}$
Соотношение (2) может быть получено и иначе, если привлечь "геометрические" соображения. В произвольную точку шоссе D (рис.2) автобус придет за время $t = s/V_{A}$, где $s$ — длина участка СD шоссе. В эту же точку за время, равное или меньшее $t$, человек может попасть, если он находится в пределах круга радиуса $r = V_{ч} t$ с центром в точке D. Начертив подобные круги для других точек, расположенных на шоссе, получаем область, из которой человек всегда успеет сесть в автобус. Границами ее являются две общие касательные к окружностям, составляющие с линией шоссе угол $\alpha$, равный углу, под которым нужно бежать к перпендикуляру к шоссе. Этот угол определяется равенством:
$\sin \alpha = \frac{r}{s} = \frac{V_{ч}}{V_{A}}$.
Еще проще выглядит решение, если перейти в систему отсчета, в которой автобус покоится (рис. 3). Эта система отсчета движется относительно земли влево со скоростью $\vec{V}_{A}$. Неподвижно стоящий на земле человек имеет в ней скорость $- \vec{V}_{A}$, направленную вправо. Скорость бегущего человека $\vec{V}$ в этой системе отсчета равна векторной сумме $- \vec{V}_{A}$ и скорости человека относительно земли $\vec{V}_{ч}$. Поскольку модуль скорости человека $V_{ч}$ постоянен, конец этого вектора лежит на окружности. Соединяя начало вектора $- \vec{V}_{A}$ с концом вектора $\vec{V}_{ч}$, получаем вектор результирующей скорости $\vec{V}$. Если, двигаясь в направлении этого вектора, человек окажется на дороге левее автобуса, то успеет на него. Из рисунка 3 видно, что оптимальный угол удовлетворяет соотношению (2) и составляет около $14,5^{ \circ}$.
Ответ: бежать следует под углом $\alpha = arcsin(V_{ч}/V_{A}) \approx 14,5^{ \circ}$ к шоссе; $x_{0} \geq l \cdot \frac{V_{A}/V_{ч} - V_{ч}/V_{A}}{ \sqrt{ 1 - (V_{ч}/V_{A})^{2}}}$.
