Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2029
2017-01-12 
Две дороги пересекаются под углом $\alpha$. В некоторый момент времени $t_{0} = 0$ автомобиль А проезжает перекресток, двигаясь с постоянной скоростью $v_{1}$. Автомобиль В в этот момент находится на расстоянии $l_{0}$ от перекрестка и движется по направлению к нему с постоянной скоростью $v_{2}$. Через какой промежуток времени расстояние между автомобилями будет минимальным, и каково это минимальное расстояние?
Решение:
рис.1
рис.2
Систему отсчета свяжем с автомобилем В (рис. 1). Составляющие относительной скорости у автомобиля А в этой системе отсчета
$v_{x} = - (v_{2} + v_{1} \cos \alpha), v_{y} = v_{1} \cos \alpha$.
Сама же относительная скорость
$v =\sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
направлена по диагонали прямоугольника, построенного на $v_{x}$ и $v_{y}$.
Кратчайшим расстоянием между автомобилями за все время их движения будет длина перпендикуляра $|BC| = l_{min}$ к линии, по которой направлена скорость $\vec{v}$. Если обозначить угол между осью $x$ и относительной скоростью через $\beta$, то $l_{min} = l_{0} \sin \beta$, причем $\sin \beta = v_{y}/v$. Таким образом,
$l_{min} = \frac{l_{0}v_{y}}{ \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}} = \frac{l_{0}v_{1} \sin \alpha}{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}}$. (1)
Время, в течение которого автомобиль А в системе отсчета, связанной с автомобилем В, пройдет расстояние $|AC| = l_{0} \cos \beta$, будет:
$t = \frac{|AC|}{v} = \frac{ l_{0} \cos \beta}{ v}$
Подставляя значение $\cos \beta = |v_{x}/v|$ и $v$, получаем
$t = \frac{l_{0}(v_{2}+v_{1} \cos \alpha)}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}$. (2)
Задачу можно было решать и в системе отсчета, связанной с землей, выбрав начало координат, например, в точке В, где первоначально находился один из автомобилей (рис.2). В этой системе отсчета координаты автомобилей изменяются следующим образом:
$x_{A} = l_{0} - v_{1} \cos \alpha t; x_{B} = v_{2}t$;
$y_{A} = v_{1} \sin \alpha t; y_{B} = 0$.
Расстояние между автомобилями изменяется по закону
$l^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)t^{2} - 2l_{0}(v_{2} + v_{1} \cos \alpha)t + l_{0}^{2}$. (3)
Это выражение относительно переменной $t$ представляет собой уравнение параболы с ветвями, направленными вверх ($y = ax^{2} + bx + c)$. Парабола имеет минимум при $x = -b/2a$. Поэтому для времени, через которое расстояние между машинами будет минимально, получаем выражение (2) . Подставляя его в (3), находим $l_{min}$, совпадающее с (1).
Ответ: $t = \frac{l_{0}(v_{2}+v_{1} \cos \alpha)}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}; l_{min} = \frac{l_{0}v_{y}}{ \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}} = \frac{l_{0}v_{1} \sin \alpha}{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}}$.
Две дороги пересекаются под углом $\alpha$. В некоторый момент времени $t_{0} = 0$ автомобиль А проезжает перекресток, двигаясь с постоянной скоростью $v_{1}$. Автомобиль В в этот момент находится на расстоянии $l_{0}$ от перекрестка и движется по направлению к нему с постоянной скоростью $v_{2}$. Через какой промежуток времени расстояние между автомобилями будет минимальным, и каково это минимальное расстояние?
Решение:
рис.1
рис.2
Систему отсчета свяжем с автомобилем В (рис. 1). Составляющие относительной скорости у автомобиля А в этой системе отсчета
$v_{x} = - (v_{2} + v_{1} \cos \alpha), v_{y} = v_{1} \cos \alpha$.
Сама же относительная скорость
$v =\sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
направлена по диагонали прямоугольника, построенного на $v_{x}$ и $v_{y}$.
Кратчайшим расстоянием между автомобилями за все время их движения будет длина перпендикуляра $|BC| = l_{min}$ к линии, по которой направлена скорость $\vec{v}$. Если обозначить угол между осью $x$ и относительной скоростью через $\beta$, то $l_{min} = l_{0} \sin \beta$, причем $\sin \beta = v_{y}/v$. Таким образом,
$l_{min} = \frac{l_{0}v_{y}}{ \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}} = \frac{l_{0}v_{1} \sin \alpha}{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}}$. (1)
Время, в течение которого автомобиль А в системе отсчета, связанной с автомобилем В, пройдет расстояние $|AC| = l_{0} \cos \beta$, будет:
$t = \frac{|AC|}{v} = \frac{ l_{0} \cos \beta}{ v}$
Подставляя значение $\cos \beta = |v_{x}/v|$ и $v$, получаем
$t = \frac{l_{0}(v_{2}+v_{1} \cos \alpha)}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}$. (2)
Задачу можно было решать и в системе отсчета, связанной с землей, выбрав начало координат, например, в точке В, где первоначально находился один из автомобилей (рис.2). В этой системе отсчета координаты автомобилей изменяются следующим образом:
$x_{A} = l_{0} - v_{1} \cos \alpha t; x_{B} = v_{2}t$;
$y_{A} = v_{1} \sin \alpha t; y_{B} = 0$.
Расстояние между автомобилями изменяется по закону
$l^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)t^{2} - 2l_{0}(v_{2} + v_{1} \cos \alpha)t + l_{0}^{2}$. (3)
Это выражение относительно переменной $t$ представляет собой уравнение параболы с ветвями, направленными вверх ($y = ax^{2} + bx + c)$. Парабола имеет минимум при $x = -b/2a$. Поэтому для времени, через которое расстояние между машинами будет минимально, получаем выражение (2) . Подставляя его в (3), находим $l_{min}$, совпадающее с (1).
Ответ: $t = \frac{l_{0}(v_{2}+v_{1} \cos \alpha)}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}; l_{min} = \frac{l_{0}v_{y}}{ \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}} = \frac{l_{0}v_{1} \sin \alpha}{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos \alpha}}$.
