2014-05-31
Цилиндрический сосуд разделен свободно скользящим поршнем на две части. Стенки сосуда и поршень тепла не проводят. В одной части находятся $\nu_{1}$ молей гелия, в другой — $\nu_{2}$ молей аргона. Поршень быстро вынимают. Найдите установившиеся температуру и давление. Объем сосуда $V$, давление на поршень в состоянии равновесия $p$. Газ считать идеальным. При вынимании поршня работа не производится.
Решение:
Вначале, поскольку поршень в сосуде занимает равновесное положение, оба газа находятся при одинаковом давлении $p$, занимая при этом, вообще говоря, разные объемы $V_{1}$ и $V_{2}$ и имея разные температуры $T_{1}$ и $T_{2}$. Эти величины связаны уравнениями состояния
$pV_{1}=R\nu_{1}T_{1}$ и $ pV_{2}=R\nu_{2}T_{2}$, (1)
где $R$ - газовая постоянная. После удаления поршня газы перемешивается, их температуры выравниваются и смесь приходит в равновесное состояние. После наступления равновесия параметры смеси газов (давление $p^{\prime}$, объем $V$ и температура $T$) связаны уравнением состояния
$p^{\prime}V=(\nu_{1}+\nu_{2})RT$. (2)
Так как сосуд тепла не проводит и при вынимании поршня работа не производится, то суммарная внутренняя энергия газов не меняется. Принимая во внимание, что внутренняя энергия одного моля любого одноатомного идеального газа равна $(3/2)RT$, мы должны написать, что
$\frac{3}{2} \nu_{1}RT_{1} + \frac{3}{2} \nu_{2}RT_{2} = \frac{3}{2} (\nu_{1}+\nu_{2})RT$
Этому равенству эквивалентно следующее:
$\nu_{1}T_{1}+\nu_{2}T_{2} = (\nu_{1}+\nu_{2})T$. (3)
Иcпользуя полученные соотношения, найдем давление $p^{\prime}$ и температуру Т смеси газов. Складывая почленно равенства (1) и учитывая (3), получаем
$pV=R(\nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2})=R(\nu_{1}+\nu_{2})T$. (4)
Сравнивая равенства (2) и (4), находим $p^{\prime} = p$, т. е. смешение газов не приводит к изменению давления в сосуде. Из равенства (4) находим температуру смеси:
$T=\frac{pV}{(\nu_{1}+\nu_{2})R}$.