Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 199
2014-05-31 
Над одним молем идеального газа совершают процесс, во время которого его давление и объем связаны соотношением
$(V+V_{0})(p+p_{0})=C$
где $V_{0} = 25 л, p_{0} = 1 атм, C = 81 атм \cdot л$. Определите максимальную температуру газа во время этого процесса.
Решение:
Введем для удобства следующие обозначения:
$\pi \equiv \frac{p}{p_{0}}, \omega \equiv \frac{V}{V_{0}}, \tau \equiv \frac{RT}{p_{0}V_{0}}, \sigma \equiv \frac{C}{p_{0}V_{0}}$. (1)
Величины $\pi , \omega$ и $\tau$ можно назвать безразмерными давлением, объемом и температурой; $\sigma$ - безразмерная постоянная. В этих новых переменных уравнение Клапейрона - Менделеева для одного моля начального газа $pV=RT$ и уравнение процесса $(V+V_{0})(p+p_{0})=C$ принимают вид
$\pi \omega = \tau$, (2)
$(\pi + 1)(\omega + 1) = \sigma$. (3)
Кривая, описываемая на плоскости $\pi , \omega$ уравнением (3), является гиперболой, асимптотами которой служат прямые $\pi = -1$ и $\omega = -1$. Ветви гиперболы симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Реальному процессу отвечают положительные давление и объем, т. е. положительные безразмерные давление $\pi$ и объем $\omega$. Поэтому реальный процесс изображается лишь той частью гиперболы, которая находится в первом квадранте.
Графики изотерм $T = const$ (или, что то же самое, $\tau = const$) также гиперболы, но их асимптотами служат положительные полуоси $\pi$ и $\omega$. Изотермы симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Основная гипербола, характеризующая интересующий нас процесс, если пересекает данную изотерму, то пересекает ее дважды. Этим точкам процесса отвечает одинаковая температура $T$. Точки пересечения изотерм с графиком нашего процесса симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Точки пересечения графика процесса с изотермами большей температуры приближаются друг к другу, оставаясь симметричными относительно упомянутой выше биссектрисы. Существует предельное значение температуры $T=T_{max}$, отвечающее тому случаю, когда точки пересечения, попадая на биссектрису первого квадранта, сливаются друг с другом. Отсюда ясно, что искомой максимальной температуре процесса, описываемого формулой (3), отвечает точка основной гиперболы, расположенная на ее оси симметрии. Таким обра:юм
в тот момент, когда температура процесса $T=T_{max}$ (т. е. когда $\tau = \tau_{max}$), имеет место равенство $\pi = \omega$. Полагая в формуле (3) $\pi = \omega = x$, получаем уравнение для нахождения значения $\omega$ (а так же и $\pi$), отвечающего значению $T_{max}$. Решая полученное уравнение относительно х, имеем
$x= \sqrt{ \sigma } -1 $.
При $\pi = \omega = x$ в формуле (2) $\tau$ принимает значение $\tau_{max}$. Отсюда ясно, что
$\tau_{max}=x^{2}=(\sqrt{\sigma} - 1)^{2}$.
Воспользовавшись формулами (1), находим
$T_{max}=\frac{p_{0}V_{0}}{R} \tau_{max} = \frac{p_{0}V_{0}}{R} (\sqrt{\sigma} - 1)^{2} = \frac{1}{R} (\sqrt{C} - \sqrt{p_{0}V_{0}})^{2}=195 К$
Над одним молем идеального газа совершают процесс, во время которого его давление и объем связаны соотношением
$(V+V_{0})(p+p_{0})=C$
где $V_{0} = 25 л, p_{0} = 1 атм, C = 81 атм \cdot л$. Определите максимальную температуру газа во время этого процесса.
Решение:
Введем для удобства следующие обозначения:
$\pi \equiv \frac{p}{p_{0}}, \omega \equiv \frac{V}{V_{0}}, \tau \equiv \frac{RT}{p_{0}V_{0}}, \sigma \equiv \frac{C}{p_{0}V_{0}}$. (1)
Величины $\pi , \omega$ и $\tau$ можно назвать безразмерными давлением, объемом и температурой; $\sigma$ - безразмерная постоянная. В этих новых переменных уравнение Клапейрона - Менделеева для одного моля начального газа $pV=RT$ и уравнение процесса $(V+V_{0})(p+p_{0})=C$ принимают вид
$\pi \omega = \tau$, (2)
$(\pi + 1)(\omega + 1) = \sigma$. (3)
Кривая, описываемая на плоскости $\pi , \omega$ уравнением (3), является гиперболой, асимптотами которой служат прямые $\pi = -1$ и $\omega = -1$. Ветви гиперболы симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Реальному процессу отвечают положительные давление и объем, т. е. положительные безразмерные давление $\pi$ и объем $\omega$. Поэтому реальный процесс изображается лишь той частью гиперболы, которая находится в первом квадранте.
Графики изотерм $T = const$ (или, что то же самое, $\tau = const$) также гиперболы, но их асимптотами служат положительные полуоси $\pi$ и $\omega$. Изотермы симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Основная гипербола, характеризующая интересующий нас процесс, если пересекает данную изотерму, то пересекает ее дважды. Этим точкам процесса отвечает одинаковая температура $T$. Точки пересечения изотерм с графиком нашего процесса симметричны относительно биссектрисы первого квадранта. Точки пересечения графика процесса с изотермами большей температуры приближаются друг к другу, оставаясь симметричными относительно упомянутой выше биссектрисы. Существует предельное значение температуры $T=T_{max}$, отвечающее тому случаю, когда точки пересечения, попадая на биссектрису первого квадранта, сливаются друг с другом. Отсюда ясно, что искомой максимальной температуре процесса, описываемого формулой (3), отвечает точка основной гиперболы, расположенная на ее оси симметрии. Таким обра:юм
в тот момент, когда температура процесса $T=T_{max}$ (т. е. когда $\tau = \tau_{max}$), имеет место равенство $\pi = \omega$. Полагая в формуле (3) $\pi = \omega = x$, получаем уравнение для нахождения значения $\omega$ (а так же и $\pi$), отвечающего значению $T_{max}$. Решая полученное уравнение относительно х, имеем
$x= \sqrt{ \sigma } -1 $.
При $\pi = \omega = x$ в формуле (2) $\tau$ принимает значение $\tau_{max}$. Отсюда ясно, что
$\tau_{max}=x^{2}=(\sqrt{\sigma} - 1)^{2}$.
Воспользовавшись формулами (1), находим
$T_{max}=\frac{p_{0}V_{0}}{R} \tau_{max} = \frac{p_{0}V_{0}}{R} (\sqrt{\sigma} - 1)^{2} = \frac{1}{R} (\sqrt{C} - \sqrt{p_{0}V_{0}})^{2}=195 К$
