2014-05-31
Над одним молем идеального одноатомного газа совершают процесс, описываемый уравнением $V(p+p_{0}) = const$. Определите количество теплоты $\Delta Q$, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его температуру на $\Delta T = 1^{\circ}C$ во время этого процесса. Давление газа в начальный момент $p_{1} = p_{0} = 1 атм$, а объем $V_{1}= 22,4 л$.
Решение:
Так как газ находится при нормальном давлении и занимает такой объем, какой занимает грамм-молекула идеального газа при нормальных условиях, то начальная температура газа $T_{1} = 273 К$. Таким образом, $ \Delta T/T_{1} \ll 1$.
За счет сообщения газу тепловой энергии $\Delta Q$ увеличивается его внутренняя энергия на величину $\frac{3}{2}R \Delta T$ ($R$ - газовая постоянная) и газ, расширяясь, совершает некоторую работу $A$. Согласно первому началу термодинамики
$\Delta Q = \frac{3}{2}R \Delta T +A$. (1)
С хорошей степенью точности работу можно найти, считая давление газа в этом процессе приближенно постоянным:
$A \approx p_{1} \Delta V$. (2)
Учет изменения давления газа приведет к поправкам порядка $\Delta p \Delta V$. Эти поправки малы, так как из уравнения процесса следует что
$\frac{\Delta V}{V} = - \frac{\Delta p}{p+p_{0}}$, (3)
а из уравнения состояния идеального газа имеем
$\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta T}{T}$. (4)
Из равенств (3) и (4) получаем
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta T}{T} \frac{p+p_{0}}{p_{0}} \ll 1$
и
$\left | \frac{\Delta V}{V} \right | = \left | - \frac{\Delta T}{T} \frac{p}{p_{0}} \right | \ll 1$
Используя уравнение состояния для одного моля идеального газа, которое имеет вид
$pV=RT$, (5)
нетрудно преобразовать уравнение процесса $V(p+p_{0}) = const$ к следующей форме:
$RT + p_{0}V = const$.
Из полученного равенства следует, что изменение температуры газа $\Delta T$ во время процесса связано с изменением объема газа $\Delta V$ соотношением
$R \Delta T + p_{0} \Delta V = 0$,
откуда следует
$\Delta V = - R \Delta T / p_{0}$.
С учетом этого равенства формула (2) принимает вид
$A = - p_{1}R \Delta T / p_{0} = - R \Delta T$. (6)
Мы видим, что $A < 0$. Это означает, что во время процесса $V(p+p_{0}) = const$ работу над газом совершают внешние силы, сжимая его ($\Delta V < 0$).
Подставляя в (1) вместо А выражение (6), получаем
$\Delta Q = \frac{1}{2} R \Delta T \approx 4,16 Дж$.