Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 196
2014-05-31 
Горизонтально расположенный цилиндр разделен поршнем на две части. В одной находится идеальный газ, в другой - вакуум. Поршень медленно сдвигают так, что газ заполняет весь цилиндр. Рассмотрите этот процесс в следующих двух случаях: 1) цилиндр теплоизолирован; 2) цилиндр помещен в термостат. В каком случае газ при расширении совершает большую работу?
Решение:
В случае 1) газ при движении поршня, расширяясь совершает работу за счет убыли своей внутренней энергии, сопровождающейся уменьшением температуры газа. При расширении газа в случае 2) его температура и внутренняя энергия остаются неизменными - газ совершает работу за счет тепла, подводимого извне.
Рассмотрим элементарную (достаточно малую) работу, совершаемую газом в процессе движения поршня от точки с координатой $x$ до точки с координатой $x+ \delta x$. Если площадь поперечного сечения поршня $S$, то при смещении поршня на $\Delta x$ объем газа изменится на величину $\Delta V = S \Delta x$ и газ совершает работу
$\Delta A = p(x)\Delta V = p(x) S \Delta x$,
здесь $p(x)$ - давление газа в цилиндре, когда горизонтальная координата поршня равна $x$. Используя уравнение состояния идеального газа $p(x) = \nu RT /V(x)$, где $\nu$ - число молей газа в цилиндре, $R$ - газовая постоянная, $T(x)$ и $V(x)$ -соответственно температура и объем газа в цилиндре в тот момент, когда поршень находите в точке с координатой $x$, и принимая во внимание, что $V(x) = V_{0} + Sx$, где $V_{0}$ - объем газа в момент, когда $x = 0$, получаем
$\Delta A = \frac{\nu RS}{V(x)} T(x) \Delta(x) = \frac{\nu RS}{V_{0}+Sx} T(x) \Delta x$. (1)
Так как в случае 2) температура газа неизменна, то при любых $\nu$ выполняется $T(x)= T(0)$. В случае же 1) $T(x)$ с ростом $x$ монотонно уменьшается, поэтому при $x > 0$ всегда $T(x) < T(0)$. С учетом этого из (1) следует, что при смещении поршня от положения с координатой $x$ в положение с координатой $x+ \Delta x$ в случае 2) всегда совершается большая работа $\Delta A$, чем в случае 1). Складывая все элементарные работы, совершаемые газом при перемещении поршня, получаем следующий ответ: $A_{1} < A_{2}$, где $A_{1}$ и $A_{2}$, - работы, совершаемые газом в процессах 1) и 2) соответственно.
Горизонтально расположенный цилиндр разделен поршнем на две части. В одной находится идеальный газ, в другой - вакуум. Поршень медленно сдвигают так, что газ заполняет весь цилиндр. Рассмотрите этот процесс в следующих двух случаях: 1) цилиндр теплоизолирован; 2) цилиндр помещен в термостат. В каком случае газ при расширении совершает большую работу?
Решение:
В случае 1) газ при движении поршня, расширяясь совершает работу за счет убыли своей внутренней энергии, сопровождающейся уменьшением температуры газа. При расширении газа в случае 2) его температура и внутренняя энергия остаются неизменными - газ совершает работу за счет тепла, подводимого извне.
Рассмотрим элементарную (достаточно малую) работу, совершаемую газом в процессе движения поршня от точки с координатой $x$ до точки с координатой $x+ \delta x$. Если площадь поперечного сечения поршня $S$, то при смещении поршня на $\Delta x$ объем газа изменится на величину $\Delta V = S \Delta x$ и газ совершает работу
$\Delta A = p(x)\Delta V = p(x) S \Delta x$,
здесь $p(x)$ - давление газа в цилиндре, когда горизонтальная координата поршня равна $x$. Используя уравнение состояния идеального газа $p(x) = \nu RT /V(x)$, где $\nu$ - число молей газа в цилиндре, $R$ - газовая постоянная, $T(x)$ и $V(x)$ -соответственно температура и объем газа в цилиндре в тот момент, когда поршень находите в точке с координатой $x$, и принимая во внимание, что $V(x) = V_{0} + Sx$, где $V_{0}$ - объем газа в момент, когда $x = 0$, получаем
$\Delta A = \frac{\nu RS}{V(x)} T(x) \Delta(x) = \frac{\nu RS}{V_{0}+Sx} T(x) \Delta x$. (1)
Так как в случае 2) температура газа неизменна, то при любых $\nu$ выполняется $T(x)= T(0)$. В случае же 1) $T(x)$ с ростом $x$ монотонно уменьшается, поэтому при $x > 0$ всегда $T(x) < T(0)$. С учетом этого из (1) следует, что при смещении поршня от положения с координатой $x$ в положение с координатой $x+ \Delta x$ в случае 2) всегда совершается большая работа $\Delta A$, чем в случае 1). Складывая все элементарные работы, совершаемые газом при перемещении поршня, получаем следующий ответ: $A_{1} < A_{2}$, где $A_{1}$ и $A_{2}$, - работы, совершаемые газом в процессах 1) и 2) соответственно.
