2014-05-31
В комнате объемом $V$ в течение некоторого времени был включен нагреватель. В результате температура воздуха увеличилась от $T_{1}$ до $T_{2}$. Давление в комнате не менялось. Найдите изменение внутренней энергии воздуха в комнате, считая воздух идеальным двухтомным газом.
Решение:
При нагревании воздуха в комнате объемом $V$ при постоянном давлении $p$ произведение $pV$ остается неизменным. Принимая это во внимание и обращаясь к уравнению состояния идеального газа
$pV=\frac{m}{\mu} RT$ (1)
($m$ - масса газа, $\mu$ - молярная масса, $R$ - газовая постоянная и $T$ - абсолютная температура), нетрудно сообразить, что при указанных условиях при повышении температуры $T$ в комнате масса содержащегося в ней газа $m$ уменьшается, произведение $mT$ при этом постоянное. Внутренняя энергия газа $U$ складывается из кинетической энергии содержащихся в нем молекул. Средняя кинетическая энергия одной молекулы газа, как известно, пропорциональна его температуре $T$. Отсюда ясно, что внутренняя энергия газа $U$ пропорциональна температуре газа $T$ и, кроме того, пропорциональна числу содержащихся в нем молекул, т. е. пропорциональна массе газа $m$. Таким образом, можно написать, что
$U = CmT$, (2)
где $C$ - коэффициент пропорциональности, определяемый строением молекул газа (если газ одноатомный, то $C=3R/(2M)$; в случае двухатомного газа $C=5R/(2M)$). Так как произведение $mT$ есть величина постоянная, то внутренняя энергия $U$ воздуха в комнате для любого момента времени есть величина постоянная. Сообщаемая воздуху при нагревании дополнительная энергия полностью уносится с той частью воздуха, которая просачивается из комнаты вовне. Итак, если воздух в комнате нагревается при постоянном давлении $p$, то внутренняя энергия воздуха в ней не меняется.