Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 192
2014-05-31 
Два одинаковых герметических сосуда соединены тонкой короткой прямой трубкой. В сосудах находится некоторое количество сильно разреженного идеального газа. В одном сосуде поддерживается постоянная температура $T_{1}$, в другом $T_{2}$. Оцените соотношение давлений газа в сосудах.
Решение:
Будем считать, что газ, заполняющий сосуды, находится в равновесном состоянии. Тогда в каждом сосуде число молекул ($n_{01}$ и $n_{02}$), приходящееся на единицу объема, поддерживается постоянным. Найдем число молекул $n_{1}$, перелетающих в единицу времени из первого сосуда во второй, считая, что площадь поперечного сечения соединительной трубки есть $S$, а средняя скорость движения молекул в первом сосуде - $v_{1}$. Для упрощения расчетов будем считать, что одна треть всех молекул газа движется в вертикальном направлении, другая треть - горизонтально в направлении оси трубки и, наконец, последняя треть - в направлении, перпендикулярном к первым двум. В этом случае в единицу времени через поперечное сечение соединительной трубки пройдет 1/6 молекул, содержащихся внутри цилиндра с площадью основания $S$ и образующей $l_{1}=v_{1}$, т. е.
$n_{1} = \frac{1}{6} n_{01}Sv_{1}$. (1)
Аналогичным образом для числа частиц $n_{2}$, перелетающих в единицу времени из второго сосуда в первый, находим
$n_{2} = \frac{1}{6} n_{02}Sv_{2}$. (2)
Так как газ в каждом сосуде находится в равновесном состоянии, то $n_{1}= n_{2}$. С учетом этого из (1) и (2) получаем
$n_{01}/n_{02}=v_{1}/v_{2}$. (3)
Так как абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул, то
$v_{1}/v_{2}=\sqrt{T_{2}/T_{1}}$. (4)
Найдем теперь отношение $n_{01}/n_{02}$. В газе с массой $m$, молекулы которого имеют массу $m_{0}$, содержится $n = m/m_{0}$, частиц. Если этот газ занимает объем $V$, то в единице объема содержится $n_{0} = n/V = m/ (m_{0}V)$ частиц. Отсюда ясно, что
$\frac{n_{01}}{n_{02}}=\frac{m_{1}V_{2}}{m_{2}V_{1}}$.
Используя уравнение состояния идеального газа, находим
$\frac{m_{1}}{V_{1}} = \mu \frac{p_{1}}{RT_{1}}, \frac{m_{2}}{V_{2}} = \mu \frac{p_{2}}{RT_{2}}$
В соответствии с этим
$\frac{n_{01}}{n_{02}} = \frac{p_{1}T_{1}}{p_{2}T_{1}}$. (5)
Подставляя в (3) отношение $v_{1}/v_{2}$ (4) и отношение $n_{01}/n_{02}$ (5), получаем
$p_{1}/p_{2}=\sqrt{T_{1}/T_{2}}$.
Два одинаковых герметических сосуда соединены тонкой короткой прямой трубкой. В сосудах находится некоторое количество сильно разреженного идеального газа. В одном сосуде поддерживается постоянная температура $T_{1}$, в другом $T_{2}$. Оцените соотношение давлений газа в сосудах.
Решение:
Будем считать, что газ, заполняющий сосуды, находится в равновесном состоянии. Тогда в каждом сосуде число молекул ($n_{01}$ и $n_{02}$), приходящееся на единицу объема, поддерживается постоянным. Найдем число молекул $n_{1}$, перелетающих в единицу времени из первого сосуда во второй, считая, что площадь поперечного сечения соединительной трубки есть $S$, а средняя скорость движения молекул в первом сосуде - $v_{1}$. Для упрощения расчетов будем считать, что одна треть всех молекул газа движется в вертикальном направлении, другая треть - горизонтально в направлении оси трубки и, наконец, последняя треть - в направлении, перпендикулярном к первым двум. В этом случае в единицу времени через поперечное сечение соединительной трубки пройдет 1/6 молекул, содержащихся внутри цилиндра с площадью основания $S$ и образующей $l_{1}=v_{1}$, т. е.
$n_{1} = \frac{1}{6} n_{01}Sv_{1}$. (1)
Аналогичным образом для числа частиц $n_{2}$, перелетающих в единицу времени из второго сосуда в первый, находим
$n_{2} = \frac{1}{6} n_{02}Sv_{2}$. (2)
Так как газ в каждом сосуде находится в равновесном состоянии, то $n_{1}= n_{2}$. С учетом этого из (1) и (2) получаем
$n_{01}/n_{02}=v_{1}/v_{2}$. (3)
Так как абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул, то
$v_{1}/v_{2}=\sqrt{T_{2}/T_{1}}$. (4)
Найдем теперь отношение $n_{01}/n_{02}$. В газе с массой $m$, молекулы которого имеют массу $m_{0}$, содержится $n = m/m_{0}$, частиц. Если этот газ занимает объем $V$, то в единице объема содержится $n_{0} = n/V = m/ (m_{0}V)$ частиц. Отсюда ясно, что
$\frac{n_{01}}{n_{02}}=\frac{m_{1}V_{2}}{m_{2}V_{1}}$.
Используя уравнение состояния идеального газа, находим
$\frac{m_{1}}{V_{1}} = \mu \frac{p_{1}}{RT_{1}}, \frac{m_{2}}{V_{2}} = \mu \frac{p_{2}}{RT_{2}}$
В соответствии с этим
$\frac{n_{01}}{n_{02}} = \frac{p_{1}T_{1}}{p_{2}T_{1}}$. (5)
Подставляя в (3) отношение $v_{1}/v_{2}$ (4) и отношение $n_{01}/n_{02}$ (5), получаем
$p_{1}/p_{2}=\sqrt{T_{1}/T_{2}}$.
