2014-05-31
На горизонтально расположенной тонкой пластинке имеется затянутое пленкой отверстие площадью $S$. Пленка обладает свойством пропускать все молекулы, падающие на нее сверху, и лишь часть молекул, падающих на нее снизу. Вероятность прохождения молекул снизу вверх, определяемая как отношение числа прошедших через пленку молекул к достаточно большому числу падающих, известна и равна $W$. Все молекулы, прошедшие через пленку, не меняют скорости, а не прошедшие отражаются абсолютно упруго. Найдите подъемную силу пластинки при нормальном атмосферном давлении.
Решение:
Давление газа на некоторую поверхность обусловлено взаимодействием молекул газа с этой поверхностью. При ударе молекулы о поверхность на нее со стороны поверхности кратковременно действует нормальная к поверхности сила, которая вызывает изменение импульса молекулы. Согласно III закону Ньютона, такая же по величине и противоположная по направлению сила действует со стороны молекулы на поверхность. Усредненное по времени действие сил со стороны многих соударяющихся с поверхностью молекул на единицу ее площади мы воспринимаем как давление р.
Но условию задачи все молекулы, падающие на пленку сверху, проходят через нее без взаимодействия. Поэтому сила давления сверху на пленку равна нулю. Вероятность прохождения молекул сквозь пленку снизу вверх по условию задачи равна $W$. Это означает, что из $n$ молекул, попадающих в единицу времени на пленку площадью $S$, лишь $Wn$ молекул проходят через нее без взаимодействия, а остальные $(1 - W)n$ молекул упруго отражаются. Давление, оказываемое на пленку, пропорционально числу молекул, взаимодействующих с участком пленки единичной площади. Если бы взаимодействовали все $n$ молекул, то давление на пленку снизу было бы равно атмосферному и определялось бы формулой
$p_{0}=kn$, (1)
где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности. В нашем же случае с пленкой взаимодействует $(1 - W)n$ молекул. Они создают давление
$p=k(1-W)n$. (2)
Исключая из (1) и (2) неизвестный коэффициент $k$, окончательно получаем
$p=p_{0}(1-W)$.
Таким образом, снизу на пленку действует сила
$F=pS=p_{0}S(1-W)$. (3)
На остальную часть пластинки силы давления сверху и снизу уравновешивают друг друга (мы пренебрегаем архимедовой силой). По этому результирующая сила, действующая на всю пластинку, равна силе, действующей на затянутое пленкой отверстие, и определяется формулой (3).