Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1893
2017-01-07 
Два стержня одинаковых размеров, но сделанные из различных металлов, сварены своими торцами (рис.). Теплоемкость стержня А вдвое больше теплоемкости стержня В, но теплопроводность А вдвое меньше теплопроводности В. Один из свободных концов стержней нагревается, а другой охлаждается, так что на каждом Из концов поддерживается постоянная температура. Будет ли общее количество теплоты, протекающее в стержнях, зависеть от того, какой из свободных концов стержней {А или В) нагрет и какой охлажден? Теплообменом через боковые стенки стержней пренебречь.
Решение:
Будем рассматривать установившееся состояние, при котором температура $T$ спая постоянна. Пусть $C_{A}$ и $C_{B}$ — теплоемкости стержней, $k_{A}$ и $k_{B}$ — их теплопроводности, $T_{A}$ и $T_{B}$ — температуры концов стержней (см. рис.). Так как стержни однородные и отдачи тепла через боковые стенки не происходит, то в установившемся состоянии температура вдоль каждого из стержней меняется по линейному закону, причем температура $T$ спая определится из условия равенства потоков тепла, протекающих через два какие-либо сечения обоих стержней:
$k_{A}(T_{A} - T) = k_{B}(T - T_{B})$,
откуда
$T = (k_{A}T_{A} + k_{B}T_{B})/(k_{A} + k_{B})$. (1)
Количество теплоты, протекающее через каждый из стержней, можно найти, заменяя переменную температуру вдоль всего стержня средней температурой (так как распределение температуры вдоль стержня меняется по линейному закону). Общее количество теплоты, протекающее через стержни,
$Q = \frac{C_{A}(T_{A}+T)}{2} + \frac{C_{B}(T+T_{B})}{2} = \frac{C_{A}T_{A}}{2} + \frac{C_{B}T_{B}}{2} + \frac{(C_{A}+C_{B})}{2} T$. (2)
Подставляя сюда значение для $T$ из выражения (1), получим
$Q = \frac{C_{A}T_{A}}{2} + \frac{C_{B}T_{B}}{2} + \frac{(C_{A}+C_{B})(k_{A}T_{A} + k_{B}T_{B})}{2(k_{A} + k_{B})} T$
Приведя правую часть к общему знаменателю и собрав члены, содержащие $T_{A}$ и $T_{B}$, окончательно найдем
$Q = \frac{2k_{A}C_{A} + k_{A}C_{B} + k_{B}C_{A}}{2(k_{A}+k_{B})} T_{A} + \frac{2k_{B}C_{B}+k_{A}C_{B} + k_{B}C_{A}}{2(k_{A}+k_{B})} T_{B}$.
Это выражение и дает ответ на поставленный вопрос. Так как коэффициенты при $T_{A}$ и $T_{B}$, вообще говоря, различны, то величина $Q$ получится разной, если мы заменим $T_{A}$ на $T_{B}$, т. е. суммарное количество теплоты, протекающее через стержни, вообще, будет зависеть от того, какой из концов нагревается, а какой охлаждается. При этом так как коэффициенты при $T_{A}$ и $T_{B}$ отличаются лишь значением членов $k_{A}C_{A}$ и $k_{B}C_{B}$, то количество теплоты будет больше, если мы будем нагревать конец того стержня, для которого произведение теплоемкости на теплопроводность будет больше. Физически это совершенно ясно: роль теплоемкости очевидна, а чем больше теплопроводность — тем меньше падение температуры вдоль стержня и тем выше температура всех точек стержня.
Только в том случае, когда $k_{A}C_{A} = k_{B}C_{B}$, как это предполагается в условиях нашей задачи, количество теплоты, протекающее через стержни, будет одинаково, независимо от того, какой из концов нагрет и какой охлажден.
Два стержня одинаковых размеров, но сделанные из различных металлов, сварены своими торцами (рис.). Теплоемкость стержня А вдвое больше теплоемкости стержня В, но теплопроводность А вдвое меньше теплопроводности В. Один из свободных концов стержней нагревается, а другой охлаждается, так что на каждом Из концов поддерживается постоянная температура. Будет ли общее количество теплоты, протекающее в стержнях, зависеть от того, какой из свободных концов стержней {А или В) нагрет и какой охлажден? Теплообменом через боковые стенки стержней пренебречь.
Решение:
Будем рассматривать установившееся состояние, при котором температура $T$ спая постоянна. Пусть $C_{A}$ и $C_{B}$ — теплоемкости стержней, $k_{A}$ и $k_{B}$ — их теплопроводности, $T_{A}$ и $T_{B}$ — температуры концов стержней (см. рис.). Так как стержни однородные и отдачи тепла через боковые стенки не происходит, то в установившемся состоянии температура вдоль каждого из стержней меняется по линейному закону, причем температура $T$ спая определится из условия равенства потоков тепла, протекающих через два какие-либо сечения обоих стержней:
$k_{A}(T_{A} - T) = k_{B}(T - T_{B})$,
откуда
$T = (k_{A}T_{A} + k_{B}T_{B})/(k_{A} + k_{B})$. (1)
Количество теплоты, протекающее через каждый из стержней, можно найти, заменяя переменную температуру вдоль всего стержня средней температурой (так как распределение температуры вдоль стержня меняется по линейному закону). Общее количество теплоты, протекающее через стержни,
$Q = \frac{C_{A}(T_{A}+T)}{2} + \frac{C_{B}(T+T_{B})}{2} = \frac{C_{A}T_{A}}{2} + \frac{C_{B}T_{B}}{2} + \frac{(C_{A}+C_{B})}{2} T$. (2)
Подставляя сюда значение для $T$ из выражения (1), получим
$Q = \frac{C_{A}T_{A}}{2} + \frac{C_{B}T_{B}}{2} + \frac{(C_{A}+C_{B})(k_{A}T_{A} + k_{B}T_{B})}{2(k_{A} + k_{B})} T$
Приведя правую часть к общему знаменателю и собрав члены, содержащие $T_{A}$ и $T_{B}$, окончательно найдем
$Q = \frac{2k_{A}C_{A} + k_{A}C_{B} + k_{B}C_{A}}{2(k_{A}+k_{B})} T_{A} + \frac{2k_{B}C_{B}+k_{A}C_{B} + k_{B}C_{A}}{2(k_{A}+k_{B})} T_{B}$.
Это выражение и дает ответ на поставленный вопрос. Так как коэффициенты при $T_{A}$ и $T_{B}$, вообще говоря, различны, то величина $Q$ получится разной, если мы заменим $T_{A}$ на $T_{B}$, т. е. суммарное количество теплоты, протекающее через стержни, вообще, будет зависеть от того, какой из концов нагревается, а какой охлаждается. При этом так как коэффициенты при $T_{A}$ и $T_{B}$ отличаются лишь значением членов $k_{A}C_{A}$ и $k_{B}C_{B}$, то количество теплоты будет больше, если мы будем нагревать конец того стержня, для которого произведение теплоемкости на теплопроводность будет больше. Физически это совершенно ясно: роль теплоемкости очевидна, а чем больше теплопроводность — тем меньше падение температуры вдоль стержня и тем выше температура всех точек стержня.
Только в том случае, когда $k_{A}C_{A} = k_{B}C_{B}$, как это предполагается в условиях нашей задачи, количество теплоты, протекающее через стержни, будет одинаково, независимо от того, какой из концов нагрет и какой охлажден.
