Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1844
2017-01-06 
Масляный насос, приводимый в действие электродвигателем, работает с постоянным числом оборотов $n_{0}$ в единицу времени. За каждый оборот он откачивает из сосуда определенный постоянный малый объем $\Delta V = const$. Обозначим $p_{0}$ первоначальное давление в откачиваемом сосуде, $p_{t}$ — давление через время $t$ после начала действия насоса. Доказать, что $ln(p_{0}/p_{t})$ растет линейно.
Решение:
Поскольку температура остается все время постоянной, изменения объема и давления можно считать подчиняющимися закону Бойля — Мариотта, После первого оборота объем газа становится равным $V + \Delta V$ (так как насос откачал $\Delta V$, а оставшийся газ расширился до объема $V$), а давление — $p_{1}$. По закону Бойля — Мариотта
$p_{1}(V + \Delta V) = p_{0}V$.
При втором обороте насос начинает качать от объема $V$ (объем $\Delta V$ выброшен из сосуда) и от давления $p_{1}$; после второго оборота
$p_{2} (V + \Delta V) = p_{1} V, p_{2} = p_{1} \frac{V}{V + \Delta V} = p_{0} \left ( \frac{V}{ V + \Delta V} \right )^{2}$
и после $n$ оборотов
$p_{n} = p_{0} \left ( \frac{V}{ V + \Delta V} \right )^{n}$.
Так как $n_{0}$ — число оборотов в единицу времени, то
$n = n_{0}t, p_{t} = p_{0} \left ( \frac{V}{V + \Delta V} \right )^{n}$;
отсюда
$\frac{p_{0}}{p_{t}} = \left ( 1 + \frac{ \Delta V}{V} \right )^{n_{0}t}$,
или
$ln \frac{p_{0}}{p_{t}} = n_{0}t ln \left ( 1 + \frac{ \Delta V}{V} \right )$.
Так как число оборотов в единицу времени $n_{0}$ и выражение $1 + \Delta V/V$ постоянны, можно записать
$ln \frac{p_{0}}{p_{t}} = const \cdot t = C \cdot t$.
Очевидно, чем больше константа $C$, тем больше скорость откачки. Зависимость между $ln ( p_{0} / p_{t})$ н временем можно изобразить графически (рис. а). Получается, что логарифм степени разрежения растет линейно со временем, а значит, растет и степень разрежения, т. е. каждый насос может дать любое разрежение. На самом деле для каждого насоса есть некоторое минимальное давление, ниже которого он не может продолжать откачку. По мере приближения к этому предельному давлению скорость откачки замедляется, так что график зависимости $ln(p_{0}/p_{t})$ от времени на самом деле выглядит, как на рис. б.
Масляный насос, приводимый в действие электродвигателем, работает с постоянным числом оборотов $n_{0}$ в единицу времени. За каждый оборот он откачивает из сосуда определенный постоянный малый объем $\Delta V = const$. Обозначим $p_{0}$ первоначальное давление в откачиваемом сосуде, $p_{t}$ — давление через время $t$ после начала действия насоса. Доказать, что $ln(p_{0}/p_{t})$ растет линейно.
Решение:
Поскольку температура остается все время постоянной, изменения объема и давления можно считать подчиняющимися закону Бойля — Мариотта, После первого оборота объем газа становится равным $V + \Delta V$ (так как насос откачал $\Delta V$, а оставшийся газ расширился до объема $V$), а давление — $p_{1}$. По закону Бойля — Мариотта
$p_{1}(V + \Delta V) = p_{0}V$.
При втором обороте насос начинает качать от объема $V$ (объем $\Delta V$ выброшен из сосуда) и от давления $p_{1}$; после второго оборота
$p_{2} (V + \Delta V) = p_{1} V, p_{2} = p_{1} \frac{V}{V + \Delta V} = p_{0} \left ( \frac{V}{ V + \Delta V} \right )^{2}$
и после $n$ оборотов
$p_{n} = p_{0} \left ( \frac{V}{ V + \Delta V} \right )^{n}$.
Так как $n_{0}$ — число оборотов в единицу времени, то
$n = n_{0}t, p_{t} = p_{0} \left ( \frac{V}{V + \Delta V} \right )^{n}$;
отсюда
$\frac{p_{0}}{p_{t}} = \left ( 1 + \frac{ \Delta V}{V} \right )^{n_{0}t}$,
или
$ln \frac{p_{0}}{p_{t}} = n_{0}t ln \left ( 1 + \frac{ \Delta V}{V} \right )$.
Так как число оборотов в единицу времени $n_{0}$ и выражение $1 + \Delta V/V$ постоянны, можно записать
$ln \frac{p_{0}}{p_{t}} = const \cdot t = C \cdot t$.
Очевидно, чем больше константа $C$, тем больше скорость откачки. Зависимость между $ln ( p_{0} / p_{t})$ н временем можно изобразить графически (рис. а). Получается, что логарифм степени разрежения растет линейно со временем, а значит, растет и степень разрежения, т. е. каждый насос может дать любое разрежение. На самом деле для каждого насоса есть некоторое минимальное давление, ниже которого он не может продолжать откачку. По мере приближения к этому предельному давлению скорость откачки замедляется, так что график зависимости $ln(p_{0}/p_{t})$ от времени на самом деле выглядит, как на рис. б.
