Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 184
2014-05-31 
Найдите КПД тепловой машины, работающей по циклу, изображенному на рис. Рабочим телом является идеальный газ.
Решение:
Состояния А и В находятся на изохоре, а состояния В и С - на изобаре, причем на изохоре давление, а на изобаре объем увеличивается в два раза:
$p_{B}=p_{C}=2p_{A}$, (1)
$V_{C}=2V_{A}=2V_{B}$. (2)
Равенство (1) следует непосредственно из условия задачи, равенство (2) из пропорциональности объема и давления на участке СА.
Искомый КПД $\eta$ определяется формулой
$\eta = A/ Q_{н}$, (3)
где $A$ - работа, совершаемая газом за один цикл, $Q_{н}$ - количество теплоты, полученное газом за один цикл. Работа $A$ численно равна площади, ограниченной графиком процесса на диаграмме р-V:
$A=\frac{1}{2} (p_{B}-p_{A})(V_{C}-V_{A})=\frac{1}{2}p_{A}V_{A}$. (4)
Найдем $Q_{н}$. Как известно, тепло, переданное рабочему телу, идет на совершение работы и на увеличение внутренней энергии:
$\Delta Q = \Delta A + \Delta U$. (5)
Для определенности будем считать, что мы имеем дело с одноатомным газом. При изменении температуры на $\Delta T$ внутренняя энергия $\nu$ молей этого газа изменится на величину
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (6)
Используя уравнение состояния идеального газа и формулы (1) и (2), находим $\Delta T$ на каждом из участков цикла:
$\Delta T_{AB}= T_{B}-T_{A}=\frac{V_{A} \Delta p_{AB}}{\nu R}=\frac{p_{A}V_{A}}{\nu R}$, (7)
$\Delta T_{BC}=T_{C}-T_{B}= \frac{p_{B} \Delta V_{BC}}{\nu R}=\frac{2 p_{A} V_{A}}{\nu R}$. (8)
Складывая почленно равенства (7) и (8), имеем:
$\Delta T_{CA} = T_{A} – T_{C}= -3 \frac{p_{A} V_{A}}{\nu R}$. (9)
Используя формулы (6)-(9), получаем:
$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{AB} = \frac{3}{2}p_{A}V_{A}$, (10)
$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{BC} = 3 p_{A}V_{A}$, (11)
$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{CA} = - \frac{9}{2}p_{A}V_{A}$. (12)
На участке АВ газ не совершает работы: $\Delta A_{AB}=0$. На участке ВС газ при расширении совершает положительную работу $\Delta A_{BC}$, равную площади прямоугольника, расположенного под отрезком прямой ВС на диаграмме р-V:
$\Delta A_{BC} = p_{B}(V_{B}-V_{A}) = 2p_{A}V_{A}$. (13)
На участке СA газ совершает отрицательную работу ($\Delta A_{CA}= 0$). Поскольку и изменение внутренней энергии газа на этом участке отрицательно (см. (12)), то полное количество теплоты по формуле (5) на этом участке отрицательно. Это означает, что на участке СА тепло переходит от рабочего тела к холодильнику.
На участках АВ и ВС тепло переходит к рабочему телу от нагревателя:
$Q_{н}=\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC}$. (14)
Используя формулы (5) и (10)-(14), находим:
$Q_{н}=\frac{3}{2}p_{A}V_{A} + 5 p_{A}V_{A} = \frac{13}{2} p_{A}V_{a}$. (15)
Подставляя в (3) выражения, стоящие в правых частях формулы (4) и (15), находим КПД тепловой машины: $\eta = 1/13$.
Найдите КПД тепловой машины, работающей по циклу, изображенному на рис. Рабочим телом является идеальный газ.
Решение:
Состояния А и В находятся на изохоре, а состояния В и С - на изобаре, причем на изохоре давление, а на изобаре объем увеличивается в два раза:
$p_{B}=p_{C}=2p_{A}$, (1)
$V_{C}=2V_{A}=2V_{B}$. (2)
Равенство (1) следует непосредственно из условия задачи, равенство (2) из пропорциональности объема и давления на участке СА.
Искомый КПД $\eta$ определяется формулой
$\eta = A/ Q_{н}$, (3)
где $A$ - работа, совершаемая газом за один цикл, $Q_{н}$ - количество теплоты, полученное газом за один цикл. Работа $A$ численно равна площади, ограниченной графиком процесса на диаграмме р-V:
$A=\frac{1}{2} (p_{B}-p_{A})(V_{C}-V_{A})=\frac{1}{2}p_{A}V_{A}$. (4)
Найдем $Q_{н}$. Как известно, тепло, переданное рабочему телу, идет на совершение работы и на увеличение внутренней энергии:
$\Delta Q = \Delta A + \Delta U$. (5)
Для определенности будем считать, что мы имеем дело с одноатомным газом. При изменении температуры на $\Delta T$ внутренняя энергия $\nu$ молей этого газа изменится на величину
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (6)
Используя уравнение состояния идеального газа и формулы (1) и (2), находим $\Delta T$ на каждом из участков цикла:
$\Delta T_{AB}= T_{B}-T_{A}=\frac{V_{A} \Delta p_{AB}}{\nu R}=\frac{p_{A}V_{A}}{\nu R}$, (7)
$\Delta T_{BC}=T_{C}-T_{B}= \frac{p_{B} \Delta V_{BC}}{\nu R}=\frac{2 p_{A} V_{A}}{\nu R}$. (8)
Складывая почленно равенства (7) и (8), имеем:
$\Delta T_{CA} = T_{A} – T_{C}= -3 \frac{p_{A} V_{A}}{\nu R}$. (9)
Используя формулы (6)-(9), получаем:
$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{AB} = \frac{3}{2}p_{A}V_{A}$, (10)
$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{BC} = 3 p_{A}V_{A}$, (11)
$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{CA} = - \frac{9}{2}p_{A}V_{A}$. (12)
На участке АВ газ не совершает работы: $\Delta A_{AB}=0$. На участке ВС газ при расширении совершает положительную работу $\Delta A_{BC}$, равную площади прямоугольника, расположенного под отрезком прямой ВС на диаграмме р-V:
$\Delta A_{BC} = p_{B}(V_{B}-V_{A}) = 2p_{A}V_{A}$. (13)
На участке СA газ совершает отрицательную работу ($\Delta A_{CA}= 0$). Поскольку и изменение внутренней энергии газа на этом участке отрицательно (см. (12)), то полное количество теплоты по формуле (5) на этом участке отрицательно. Это означает, что на участке СА тепло переходит от рабочего тела к холодильнику.
На участках АВ и ВС тепло переходит к рабочему телу от нагревателя:
$Q_{н}=\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC}$. (14)
Используя формулы (5) и (10)-(14), находим:
$Q_{н}=\frac{3}{2}p_{A}V_{A} + 5 p_{A}V_{A} = \frac{13}{2} p_{A}V_{a}$. (15)
Подставляя в (3) выражения, стоящие в правых частях формулы (4) и (15), находим КПД тепловой машины: $\eta = 1/13$.
