Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 182
2014-05-31 
Какая работа совершается во время одного термодинамического цикла, изображенного на рис. а? Каков КПД тепловой машины работающей по этому циклу? Рабочим телом является один моль идеального газа.
Решение:
Изобразим приведенный на рис. a график процесса на плоскости V-Т в график на плоскости р-V.
На участке АВ объем сохраняется, т. е. процесс является изохарическим. В соответствии с этим в координатах р-V он изображается вертикальным отрезком, идущим вверх (при повышении температуры давление растет) от $p_{1}$ в точке А до $p_{2}$ в точке В, причем из уравнения состояния одного моля идеального газа следует, что $p_{1}=RT_{1}/V_{1}$, a $ p_{2}=2RT_{1}/V_{1}$ (рис. б).
На участке ВС объем изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре. Это говорит о том, что процесс является изобарическим, т. е. в координатах р-V он изображается отрезком параллельным оси V.
На участке CD процесс является изохорическнм. Объем газа не изменяется, т. е. $V_{C} = V_{D} = 2V_{1}$. В координатах р-V он изображается вертикальным отрезком, идущим из точки С вниз, так как давление с понижением температуры уменьшается.
На участке DA объем газа убывает прямо пропорционально абсолютной температуре (прямая проходит через начало координат ). Этo означает, что мы имеем дело с изобарическим процессом . Обьем изобарически меняется от значения $2V_{1}$ до значения $V_{1}$, в координатах р-V процесс DA изображается отрезком прямой
$p_{1}$. параллельной оси V.
Найдем работу, совершаемую газом, и изменение его внутренней энергии на участках АВ, ВС, CD, DA:
$A_{AB}=0$, (1)
$\Delta U_{AB}=C_{V}(T_{B}-T_{A})=C_{V}T_{1}$,
$A_{BC}=p(V_{C}-V_{B})=R(T_{C}-T_{B})=2RT_{1}$, (2)
$\Delta U_{BC}=C_{V}(T_{C}-T_{B})=2C_{V}T_{1}$,
$A_{CD}=0$, (3)
$\Delta U_{CD}=C_{V}(T_{D}-T_{C}) = - 2 C_{V}T_{1}$,
$A_{DA}=p(V_{A}-V_{D})=R(T_{A}-T_{D}) = -RT_{1}$, (4)
$\Delta U_{DA} = C_{V}(T_{A}-T_{D}) = -C_{V}T_{1}$.
В этих формулах $C_{V}=3r/2,C_{p}=5R/2 $.
Полезная работа, производимая газом за один цикл, равна сумме работ (1) - (4), производимых на отдельных участках цикла:
$A=A_{AB}+A_{BC}+A_{CD}+A_{DA}=RT_{1}$. (5)
Количество теплоты, получаемое газом на отдельных участках цикла определяется из первого начала термодинамики $Q = \Delta U + A$:
$Q_{AB}=\Delta U_{AB} = C_{V}T_{1}>0$, (6)
$Q_{BC}=\Delta U_{BC}+A_{BC}=2(C_{V}+R)T_{1}=2C_{p}T_{1}>0$, {7)
$Q_{CD}=\Delta U _{CD} = -2C_{V}T_{1}<0$, (8)
$Q_{DA}=\Delta U_{DA}+A_{DA}= - (C_{V}+R)(T_{A}-T_{D})=-C_{p}T_{1}<0$. (9)
Видим, что количество теплоты положительно на участках АВ, ВС и отрицательно на других участках. Следовательно, на участке АВС газ получает тепло от нагревателя, причем соответствующее количество теплоты надо рассматривать как затраченную энергию $Q_{н}$ в определении КПД. В нашем случае оно равно сумме величин
(6) и (7):
$Q_{н}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{13}{2}RT_{1}$. (10)
Используя определение КПД $\eta = A/Q_{н}$, согласно (5) и (10) окончательно получаем $\eta = 2/13$.
Какая работа совершается во время одного термодинамического цикла, изображенного на рис. а? Каков КПД тепловой машины работающей по этому циклу? Рабочим телом является один моль идеального газа.
Решение:
Изобразим приведенный на рис. a график процесса на плоскости V-Т в график на плоскости р-V.
На участке АВ объем сохраняется, т. е. процесс является изохарическим. В соответствии с этим в координатах р-V он изображается вертикальным отрезком, идущим вверх (при повышении температуры давление растет) от $p_{1}$ в точке А до $p_{2}$ в точке В, причем из уравнения состояния одного моля идеального газа следует, что $p_{1}=RT_{1}/V_{1}$, a $ p_{2}=2RT_{1}/V_{1}$ (рис. б).
На участке ВС объем изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре. Это говорит о том, что процесс является изобарическим, т. е. в координатах р-V он изображается отрезком параллельным оси V.
На участке CD процесс является изохорическнм. Объем газа не изменяется, т. е. $V_{C} = V_{D} = 2V_{1}$. В координатах р-V он изображается вертикальным отрезком, идущим из точки С вниз, так как давление с понижением температуры уменьшается.
На участке DA объем газа убывает прямо пропорционально абсолютной температуре (прямая проходит через начало координат ). Этo означает, что мы имеем дело с изобарическим процессом . Обьем изобарически меняется от значения $2V_{1}$ до значения $V_{1}$, в координатах р-V процесс DA изображается отрезком прямой
$p_{1}$. параллельной оси V.
Найдем работу, совершаемую газом, и изменение его внутренней энергии на участках АВ, ВС, CD, DA:
$A_{AB}=0$, (1)
$\Delta U_{AB}=C_{V}(T_{B}-T_{A})=C_{V}T_{1}$,
$A_{BC}=p(V_{C}-V_{B})=R(T_{C}-T_{B})=2RT_{1}$, (2)
$\Delta U_{BC}=C_{V}(T_{C}-T_{B})=2C_{V}T_{1}$,
$A_{CD}=0$, (3)
$\Delta U_{CD}=C_{V}(T_{D}-T_{C}) = - 2 C_{V}T_{1}$,
$A_{DA}=p(V_{A}-V_{D})=R(T_{A}-T_{D}) = -RT_{1}$, (4)
$\Delta U_{DA} = C_{V}(T_{A}-T_{D}) = -C_{V}T_{1}$.
В этих формулах $C_{V}=3r/2,C_{p}=5R/2 $.
Полезная работа, производимая газом за один цикл, равна сумме работ (1) - (4), производимых на отдельных участках цикла:
$A=A_{AB}+A_{BC}+A_{CD}+A_{DA}=RT_{1}$. (5)
Количество теплоты, получаемое газом на отдельных участках цикла определяется из первого начала термодинамики $Q = \Delta U + A$:
$Q_{AB}=\Delta U_{AB} = C_{V}T_{1}>0$, (6)
$Q_{BC}=\Delta U_{BC}+A_{BC}=2(C_{V}+R)T_{1}=2C_{p}T_{1}>0$, {7)
$Q_{CD}=\Delta U _{CD} = -2C_{V}T_{1}<0$, (8)
$Q_{DA}=\Delta U_{DA}+A_{DA}= - (C_{V}+R)(T_{A}-T_{D})=-C_{p}T_{1}<0$. (9)
Видим, что количество теплоты положительно на участках АВ, ВС и отрицательно на других участках. Следовательно, на участке АВС газ получает тепло от нагревателя, причем соответствующее количество теплоты надо рассматривать как затраченную энергию $Q_{н}$ в определении КПД. В нашем случае оно равно сумме величин
(6) и (7):
$Q_{н}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{13}{2}RT_{1}$. (10)
Используя определение КПД $\eta = A/Q_{н}$, согласно (5) и (10) окончательно получаем $\eta = 2/13$.
