Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 181
2014-05-31 
Найдите КПД цикла, приведенного на диаграмме $p, V$ на (рис. а). Рабочим телом служит один моль идеального одноатомного газа.
Решение:
КПД цикла определяется отношением работы А, совершаемой газом за время цикла, к количеству теплоты $Q_{н}$, подведенному к газу от нагревателя за это время:
$\eta = A/Q_{н}$. (1)
Работа А численно равна площади изображенного на (рис. б) треугольника ABC:
$A=\frac{1}{2}p_{0}V_{0}$. (2)
Чтобы найти $Q_{н}$, рассмотрим превращения энергии, происходящие на участках АВ, ВС и СА замкнутого цикла ABCА. Используем уравнение состояния газа $pV=RT$, находим температуры газа $T_{1},T_{B}$ и $T_{C}$ в состояниях, отвечающих точкам А, В и С цикла:
$T_{A}=p_{0}V_{0}/R, T_{B}=T_{C}=2p_{0}V_{0}/R$.
На участке АВ идет изохорический процесс. Газ работы не совершает, а его внутренняя энергия изменяется на величину
$\Delta U_{AB}= \frac{3}{2}R(T_{B}-T_{A}) = \frac{3}{2}p_{0}V_{0}/R$.
Согласно первому началу термодинамики это увеличение внутренней энергии газа происходит за счет подвода некоторого количества теплоты
$Q_{AB} = \Delta U_{AB} = \frac{3}{2} p_{0}V_{0} > 0$.
На участке СА идет изобарический процесс. Газ сжимается и совершает отрицательную работу
$A_{CA}=p_{0} \Delta V = - p_{0}V_{0}$,
а его внутренняя энергия изменяется на величину
$\Delta U_{CA}=\frac{3}{2}p_{0}V_{0}<0$.
Таким образом, на участке СА имеет место неравенство $A_{CA}<0$ и $U_{CA} < 0$ и, следовательно, газ отдает тепло $(Q_{CA} < 0)$.
Выясним теперь, что происходит на участке ВО, который представляет собой часть участка ВС. Точка О (см. рис. б) текущая точка участка ВС. Обозначим параметры газа (давление, объем и температуру), отвечающие точке О, буквами $p,V$ и $T$, они
показаны уравнением состояния. На участке ВО внутренняя энергия газа изменяется на величину
$\Delta U_{BO}= \frac{3}{2}R(T-T_{B})=\frac{3}{2}(pV-2p_{0}V_{0})$.
При этом газ совершает работу $A_{BO}$, численно равную площади заштрихованной на рис., трапеции:
$A_{BO}=(p_{0}+p/2)(V-V_{0})$.
Согласно первому началу термодинамики на изменение внутренней энергии газа $\Delta U_{BO}$ и совершение работы $A_{BO}$ системе должно быть передано количество теплоты
$Q_{BO}= \Delta U_{BO} +A_{BO} = \frac{3}{2}(pV-2p_{0}V_{0})+ \left ( p_{0} +\frac{p}{2} \right ) (V-V_{0})$. (3)
Hа участке ВС (в который входит и участок ВО) объем газа V и это давление р, как следует из графика, приведенного на рис. б, показаны следующей зависимостью:
$p=p_{0}(3-v/V_{0})$. (4)
Подставляя в (3) выражение для р (4), имеем
$Q_{BO}=-\frac{p_{0}}{2} \left ( 4\frac{V^{2}}{V_{0}} – 15V +11 V_{0} \right )$. (5)
Из (5) следует, что зависимость $Q_{BO}$ от $V$ представляется параболой, пересекающей ось $V$ в точках с координатами
$V_{1}=V_{0}$ и $V_{2}=\frac{11}{4}V_{0} = 2,75 V_{0}$.
Вершине параболы отвечает значение
$V=V_{0} \equiv \frac{V_{1}+V_{2}}{2} = \frac{15}{8}V_{0}$
Но время процесса ВО при изменении V от значения $V_{0}$ до значения $V_{D}$ количество теплоты, переданное газу, монотонно растет, и к моменту, когда точка О совмещается с точкой D, оно составляет
$Q_{BD} = Q_{BO}(V) |_{V=V_{D}}=\frac{49}{32} p_{0}V_{0}$.
Когда точка О находится в пределах участка DC и приближается к точке С, величина $Q_{BO}$ монотонно уменьшается. Это означит, что на участке DC газ отдает тепло.
Итак, система получает тепло от нагревателя только на участке АВ и BD:
$Q_{н}=Q_{AB} +Q_{BD} = \frac{97}{32} p_{0}V_{0}$. (6)
Из (1), (2) и (6) находим: $ \eta = \frac{16}{97} \approx 16,5%$.
Найдите КПД цикла, приведенного на диаграмме $p, V$ на (рис. а). Рабочим телом служит один моль идеального одноатомного газа.
Решение:
КПД цикла определяется отношением работы А, совершаемой газом за время цикла, к количеству теплоты $Q_{н}$, подведенному к газу от нагревателя за это время:
$\eta = A/Q_{н}$. (1)
Работа А численно равна площади изображенного на (рис. б) треугольника ABC:
$A=\frac{1}{2}p_{0}V_{0}$. (2)
Чтобы найти $Q_{н}$, рассмотрим превращения энергии, происходящие на участках АВ, ВС и СА замкнутого цикла ABCА. Используем уравнение состояния газа $pV=RT$, находим температуры газа $T_{1},T_{B}$ и $T_{C}$ в состояниях, отвечающих точкам А, В и С цикла:
$T_{A}=p_{0}V_{0}/R, T_{B}=T_{C}=2p_{0}V_{0}/R$.
На участке АВ идет изохорический процесс. Газ работы не совершает, а его внутренняя энергия изменяется на величину
$\Delta U_{AB}= \frac{3}{2}R(T_{B}-T_{A}) = \frac{3}{2}p_{0}V_{0}/R$.
Согласно первому началу термодинамики это увеличение внутренней энергии газа происходит за счет подвода некоторого количества теплоты
$Q_{AB} = \Delta U_{AB} = \frac{3}{2} p_{0}V_{0} > 0$.
На участке СА идет изобарический процесс. Газ сжимается и совершает отрицательную работу
$A_{CA}=p_{0} \Delta V = - p_{0}V_{0}$,
а его внутренняя энергия изменяется на величину
$\Delta U_{CA}=\frac{3}{2}p_{0}V_{0}<0$.
Таким образом, на участке СА имеет место неравенство $A_{CA}<0$ и $U_{CA} < 0$ и, следовательно, газ отдает тепло $(Q_{CA} < 0)$.
Выясним теперь, что происходит на участке ВО, который представляет собой часть участка ВС. Точка О (см. рис. б) текущая точка участка ВС. Обозначим параметры газа (давление, объем и температуру), отвечающие точке О, буквами $p,V$ и $T$, они
показаны уравнением состояния. На участке ВО внутренняя энергия газа изменяется на величину
$\Delta U_{BO}= \frac{3}{2}R(T-T_{B})=\frac{3}{2}(pV-2p_{0}V_{0})$.
При этом газ совершает работу $A_{BO}$, численно равную площади заштрихованной на рис., трапеции:
$A_{BO}=(p_{0}+p/2)(V-V_{0})$.
Согласно первому началу термодинамики на изменение внутренней энергии газа $\Delta U_{BO}$ и совершение работы $A_{BO}$ системе должно быть передано количество теплоты
$Q_{BO}= \Delta U_{BO} +A_{BO} = \frac{3}{2}(pV-2p_{0}V_{0})+ \left ( p_{0} +\frac{p}{2} \right ) (V-V_{0})$. (3)
Hа участке ВС (в который входит и участок ВО) объем газа V и это давление р, как следует из графика, приведенного на рис. б, показаны следующей зависимостью:
$p=p_{0}(3-v/V_{0})$. (4)
Подставляя в (3) выражение для р (4), имеем
$Q_{BO}=-\frac{p_{0}}{2} \left ( 4\frac{V^{2}}{V_{0}} – 15V +11 V_{0} \right )$. (5)
Из (5) следует, что зависимость $Q_{BO}$ от $V$ представляется параболой, пересекающей ось $V$ в точках с координатами
$V_{1}=V_{0}$ и $V_{2}=\frac{11}{4}V_{0} = 2,75 V_{0}$.
Вершине параболы отвечает значение
$V=V_{0} \equiv \frac{V_{1}+V_{2}}{2} = \frac{15}{8}V_{0}$
Но время процесса ВО при изменении V от значения $V_{0}$ до значения $V_{D}$ количество теплоты, переданное газу, монотонно растет, и к моменту, когда точка О совмещается с точкой D, оно составляет
$Q_{BD} = Q_{BO}(V) |_{V=V_{D}}=\frac{49}{32} p_{0}V_{0}$.
Когда точка О находится в пределах участка DC и приближается к точке С, величина $Q_{BO}$ монотонно уменьшается. Это означит, что на участке DC газ отдает тепло.
Итак, система получает тепло от нагревателя только на участке АВ и BD:
$Q_{н}=Q_{AB} +Q_{BD} = \frac{97}{32} p_{0}V_{0}$. (6)
Из (1), (2) и (6) находим: $ \eta = \frac{16}{97} \approx 16,5%$.
