Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1802
2017-01-06 
На чашку, подвешенную на пружине жесткостью $k$, падает с высоты $h$ тело массой $m$ и остается на чашке, т. е. его удар о дно чашки можно считать абсолютно неупругим (рис.). Чашка с телом начинают колебаться. Определить амплитуду их колебаний. (Для упрощения сначала рассмотреть случай, когда массой $M$ чашки можно пренебречь.)
Решение:
Когда тело массой $m$ достигнет чашки, она будет обладать кинетической энергией
$mv^{2}/2 = mgh$. (1)
После удара тело и чашка будут обладать тем же импульсом, что и тело до удара, и (поскольку массой чашки мы пренебрегаем) той же скоростью и той же кинетической энергией, т. е. $mgh$. Чашка с телом после удара будет опускаться и растягивать пружину. Растяжение пружины будет происходить за счет начальной кинетической энергии и работы силы тяжести. Если отклонение чашки вниз считать положительным, то работа силы тяжести равна $mgx$, где $x$ — отклонение чашки от начального положения. Поэтому наибольшее растяжение пружины $x_{0}$ определяется из условия, что вся кинетическая энергия и работа силы тяжести пошли на упругую деформацию пружины, т. е.
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = mgh + mgx_{0}$,
$x_{0}^{2} - \frac{2mg}{k}x_{0} - \frac{2mgh}{k} = 0$, (2)
откуда
$x_{0} = \frac{mg}{k} \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$.
Наибольшему отклонению вниз соответствует положительный корень этого уравнения (так как мы условились считать отклонение вниз положительным). Так как это наибольшее отклонение больше, чем $mg/k$ (что соответствует положению равновесия чашки, когда в ней лежит тело), то, достигнув наинизшего положения, чашка начнет подниматься кверху, пройдет через начальное положение и поднимется вверх, сжав пружину. Когда она остановится в верхнем положении, опять потенциальная энергия сжатой пружины будет равна сумме начальной кинетической энергии и работы силы тяжести, т. е. наибольшее отклонение вверх будет определяться также уравнением (2), но этому отклонению будет соответствовать второй, отрицательный корень уравнения.
Итак, чашка будет совершать колебания между двумя крайними положениями:
$x_{01} = \frac{mg}{k} + \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}, x_{02} = \frac{mg}{k} - \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$
При этом положению равновесия чашки будет соответствовать смещение $x_{0} = mg/k$. Следовательно, наибольшие отклонения чашки в обе стороны от положения равновесия будут одинаковы и равны
$\sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$. (3)
Это и есть амплитуда колебаний чашки.
Если массой $M$ чашки пренебречь нельзя, то скорость, с которой чашка начнет опускаться, не будет равна скорости, с которой тело достигает чашки и которая определяется уравнением (1). Для определения скорости $V$, с которой начнет опускаться чашка под давлением упавшего тела, надо применить закон сохранения импульса. В таком случае будем иметь
$mv = (M + m)V, V = mv/(M + m)$.
Подставляя значение $v$ из уравнения (1), получим
$V = m \sqrt{2gh} / (M+m)$.
Далее, необходимо иметь в виду, что движущейся массой теперь будет сумма масс чашки и тела: $M + m$. Кроме того, в начальный момент пружина растянута на длину $a$ весом чашки, причем
$ka = Mg$. (4)
Поэтому закон сохранения энергий' дает
$\frac{kx^{2}}{2} - \frac{ka^{2}}{2} = \frac{(M+m)}{2} \left ( \frac{m \sqrt{2gh}}{M+m} \right )^{2} + (M+m)g(x-a)$.
Подставнв в это выражение значение $a$ из (4) и перенеся все 4лены в левую часть, получим после преобразований
$x^{2} - \frac{2(M+m)g}{k} x - \frac{2m^{2}gh}{(m+M)k} + \frac{M(M+2m)g^{2}}{k^{2}} = 0$.
Отсюда
$x = \frac{m+M}{k} g \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m^{2}gh}{(M+m)k}}$.
Новым положением равновесия будет
$x_{0} = (M +m)g/k$.
Рассуждения, аналогичные предшествующему случаю, приведут х значению амплитуды
$\sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m^{2}gh}{k}}$ (5)
Как и следовало ожидать, выражение (5) переходит в (3), если считать $M = 0$.
На чашку, подвешенную на пружине жесткостью $k$, падает с высоты $h$ тело массой $m$ и остается на чашке, т. е. его удар о дно чашки можно считать абсолютно неупругим (рис.). Чашка с телом начинают колебаться. Определить амплитуду их колебаний. (Для упрощения сначала рассмотреть случай, когда массой $M$ чашки можно пренебречь.)
Решение:
Когда тело массой $m$ достигнет чашки, она будет обладать кинетической энергией
$mv^{2}/2 = mgh$. (1)
После удара тело и чашка будут обладать тем же импульсом, что и тело до удара, и (поскольку массой чашки мы пренебрегаем) той же скоростью и той же кинетической энергией, т. е. $mgh$. Чашка с телом после удара будет опускаться и растягивать пружину. Растяжение пружины будет происходить за счет начальной кинетической энергии и работы силы тяжести. Если отклонение чашки вниз считать положительным, то работа силы тяжести равна $mgx$, где $x$ — отклонение чашки от начального положения. Поэтому наибольшее растяжение пружины $x_{0}$ определяется из условия, что вся кинетическая энергия и работа силы тяжести пошли на упругую деформацию пружины, т. е.
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = mgh + mgx_{0}$,
$x_{0}^{2} - \frac{2mg}{k}x_{0} - \frac{2mgh}{k} = 0$, (2)
откуда
$x_{0} = \frac{mg}{k} \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$.
Наибольшему отклонению вниз соответствует положительный корень этого уравнения (так как мы условились считать отклонение вниз положительным). Так как это наибольшее отклонение больше, чем $mg/k$ (что соответствует положению равновесия чашки, когда в ней лежит тело), то, достигнув наинизшего положения, чашка начнет подниматься кверху, пройдет через начальное положение и поднимется вверх, сжав пружину. Когда она остановится в верхнем положении, опять потенциальная энергия сжатой пружины будет равна сумме начальной кинетической энергии и работы силы тяжести, т. е. наибольшее отклонение вверх будет определяться также уравнением (2), но этому отклонению будет соответствовать второй, отрицательный корень уравнения.
Итак, чашка будет совершать колебания между двумя крайними положениями:
$x_{01} = \frac{mg}{k} + \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}, x_{02} = \frac{mg}{k} - \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$
При этом положению равновесия чашки будет соответствовать смещение $x_{0} = mg/k$. Следовательно, наибольшие отклонения чашки в обе стороны от положения равновесия будут одинаковы и равны
$\sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2mgh}{k}}$. (3)
Это и есть амплитуда колебаний чашки.
Если массой $M$ чашки пренебречь нельзя, то скорость, с которой чашка начнет опускаться, не будет равна скорости, с которой тело достигает чашки и которая определяется уравнением (1). Для определения скорости $V$, с которой начнет опускаться чашка под давлением упавшего тела, надо применить закон сохранения импульса. В таком случае будем иметь
$mv = (M + m)V, V = mv/(M + m)$.
Подставляя значение $v$ из уравнения (1), получим
$V = m \sqrt{2gh} / (M+m)$.
Далее, необходимо иметь в виду, что движущейся массой теперь будет сумма масс чашки и тела: $M + m$. Кроме того, в начальный момент пружина растянута на длину $a$ весом чашки, причем
$ka = Mg$. (4)
Поэтому закон сохранения энергий' дает
$\frac{kx^{2}}{2} - \frac{ka^{2}}{2} = \frac{(M+m)}{2} \left ( \frac{m \sqrt{2gh}}{M+m} \right )^{2} + (M+m)g(x-a)$.
Подставнв в это выражение значение $a$ из (4) и перенеся все 4лены в левую часть, получим после преобразований
$x^{2} - \frac{2(M+m)g}{k} x - \frac{2m^{2}gh}{(m+M)k} + \frac{M(M+2m)g^{2}}{k^{2}} = 0$.
Отсюда
$x = \frac{m+M}{k} g \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m^{2}gh}{(M+m)k}}$.
Новым положением равновесия будет
$x_{0} = (M +m)g/k$.
Рассуждения, аналогичные предшествующему случаю, приведут х значению амплитуды
$\sqrt{ \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m^{2}gh}{k}}$ (5)
Как и следовало ожидать, выражение (5) переходит в (3), если считать $M = 0$.
