2014-05-31
Найдите КПД цикла, составленного из двух изобар и двух участков процесса, отвечающих уравнению состояния $pV^{2}= const$ (рис.). Рабочим телом является идеальный одноатомный газ.
Решение:
Так как рабочее тело - идеальный одноатомный газ, то изменение его внутренней энергии при изменении температуры на $\Delta T$ задается уравнением $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$ и выполнятся уравнение Клапейрона - Менделеева $pV= \nu RT$, где $\nu$ - количество молей газа.
Из условия $pV^{2}= const$ выразим $V_{2}$ и $V_{3}$ через $V_{1}$:
$p_{1}V_{1}^{2} = 4 p_{1} V_{2}^{2}$,
отсюда $V_{2} = V_{1}/2$, аналогично из
$p_{1}V^{2}_{3} = 4 p_{1} V^{2}_{1}$
следует $V_{3}=2V_{1}$.
Подсчитаем количество теплоты, полученное газом на каждом участке цикла. Воспользуемся первым началом термодинамики $\Delta Q = \Delta U +A$, где $\Delta Q$ - полученное количество теплоты, $A$ - работа газа. Отрицательное $\Delta Q$ означает, что газ отдает тепло.
Рассмотрим процессы, в которых $pV^{2}= const$. Найдем $\Delta Q_{12}$:
$\Delta Q_{12} = \Delta U_{12} + \int_{V_{1}}^{V_{2}} p dV = \frac{3}{2} \Delta (pV)_{12} + p_{1}V_{1}^{2} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dv}{V^{2}}= \frac{3}{2} (2p_{1}V_{1} – p_{1}V_{1}) – p_{1}V_{1}^{2} \left ( \frac{2}{V_{1}} - \frac{1}{V_{1}} \right ) = \frac{1}{2} p_{1} V_{1}$.
Аналогично определяется $\Delta Q_{34}$
$\Delta Q_{34} = \frac{3}{2} (2p_{1}V_{1} – p_{1}V_{1} – 4p_{1}V_{1} \left ( \frac{1}{2V_{1}} - \frac{1}{V_{1}} \right ) = - p_{1}V_{1}$.
Теперь рассмотрим изобарические процессы. Найдем сначала $\Delta Q_{23}$ ( гак как процесс изобарический, то р выносится из под знака интеграла и знака $\Delta$):
$\Delta Q_{23} = \frac{3}{2} \Delta (pV)_{23} + \int^{V_{3}}_{V_{2}}pdV = 4p_{1} \left ( \frac{3}{2} \left ( V_{1} - \frac{V_{1}}{2} \right ) + \left ( V_{1} - \frac{V_{1}}{2} \right ) \right ) = 5 p_{1}V_{1}$.
Аналогично
$\Delta Q_{41} = p_{1} \left ( \frac{3}{2} (V_{1}-2V_{1}) + (V_{1} – 2V_{1}) \right ) = - \frac{5}{2} p_{1} V_{1}$.
В данном цикле газ получает тепло на участках 1-2 и 2-3. Полное количество теплоты, полученное газом от нагревателя за один цикл:
$Q_{н} = \Delta Q_{12} + \Delta Q_{23} = 11 p_{1}V_{1} / 2$.
Работа, совершенная газом за один цикл, равна
$A = \Delta Q_{12} + \Delta Q_{23} + \Delta Q_{34} + \Delta Q_{41} = 2 p_{1} V_{1}$.
Таким образом, КПД цикла $\eta = A/Q_{н} = 4/11$.