Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1796
2017-01-06 
свинцовом шаре радиусом $R$ сделана сферическая полость, которая касается поверхности шара и проходит через его центр, Масса шара до того, как была сделана полость, разнялась $M$. С какой силой $F$ свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массой $m$, находящийся на расстоянии $r$ от центра свинцового шара на прямой, соединяющей центры шаров и полости, со стороны полости (рис.)?
Решение:
Если бы свинцовый шар был сплошной, то он притягивал бы маленький шарик с силой
$F_{спл} = G \frac{Mm}{r^{2}}$,
где $G$ — гравитационная постоянная. Можно считать, что сила притяжения $F_{спл}$ сплошного шара складывается из двух сил: из силы притяжения нашего шара со сферической полостью внутри (на рис. заштрихован) и силы притяжения меньшего шара радиуса $R/2$, заполняющего сферическую полость в нашем шаре. Цель задачи — иайти первую силу.
Масса шара, который заполнил бы сферическую полость, равна
$M_{пол} = (4/3) \pi \rho (R/2)^{3} = M/8$,
а центр его лежит на расстоянии $r - R/2$ от шарика массы $m$. Искомая сила, равная разности сил притяжения сплошного шара и меньшего шара, заполняющего сферическую полость, выразится так:
$F = G \frac{Mm}{r^{2}} - G \frac{(M/8)m}{(r-R/2)^{2}} = GMm \left [ \frac{7r^{2} - 8rR + 2R^{2}}{8r^{2}(r - R/2)^{2}} \right ]$.
Очень часто эту задачу решают неверно. Так как ошибка поучительна, мы приведем решение и разъясним, в чем ошибка.
Вычислялось положение нового центра масс свинцового шара после того, как в нем сделана полость; расстояние нового центра масс от центра шара можно определить из уравнения
$Mgx = (M/8)g(R/2 + x)$,
откуда $x = R/14$. Затем определялась сила притяжения свинцовым шаром с полостью (масса его равна $(7/8)M$) шарика массы $m$ так, как будто это две точечные массы, находящиеся на расстоянии $l + R/14$ друг от друга, т. е. по формуле
$F = G \frac{(7/8)Mm}{(l+R/14)^{2}}$.
Нетрудно видеть, что этот результат отличается от полученного нами решения. Они совпадают, только если $R \ll l$. Ошибка заключается в неправильном предположении, что шар с полостью притягивает массу $m$ так же, как его притягивала бы точечная масса той же величины, помещенная там, где находится центр масс шара с полостью.
Центр масс есть точка приложения равнодействующей всех параллельных сил, действующих на определенные элементы тела, причем каждая из этих сил пропорциональна массе данного элемента тела. Но силы, с которыми на массу $m$ действуют отдельные элементы шара, во-первых, не параллельны друг другу, так как все они направлены к точке $m$; и во-вторых, хотя они и пропорциональны массам элементов тела, но для элементов равной массы, вообще говоря, различны, так как зависят от расстояния данного элемента до точки $m$. Поэтому заменять силу тяготения данного тела силой тяготения точечной массы такой же величины, помещенной в центре масс данного тела, вообще говоря, нельзя, Только в специальных случаях, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними (т. е. когда тела можно считать материальными точками) или когда притягивающее тело особо симметричной формы, например однородный шар, можно вычислять силу тяготения этого тела, считая, что вся его масса сосредоточена в центре масс Этим последним обстоятельством мы и пользовались, когда вычисляли силы тяготения сплошного шара и заполняющего полость меньшего шара.
свинцовом шаре радиусом $R$ сделана сферическая полость, которая касается поверхности шара и проходит через его центр, Масса шара до того, как была сделана полость, разнялась $M$. С какой силой $F$ свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массой $m$, находящийся на расстоянии $r$ от центра свинцового шара на прямой, соединяющей центры шаров и полости, со стороны полости (рис.)?
Решение:
Если бы свинцовый шар был сплошной, то он притягивал бы маленький шарик с силой
$F_{спл} = G \frac{Mm}{r^{2}}$,
где $G$ — гравитационная постоянная. Можно считать, что сила притяжения $F_{спл}$ сплошного шара складывается из двух сил: из силы притяжения нашего шара со сферической полостью внутри (на рис. заштрихован) и силы притяжения меньшего шара радиуса $R/2$, заполняющего сферическую полость в нашем шаре. Цель задачи — иайти первую силу.
Масса шара, который заполнил бы сферическую полость, равна
$M_{пол} = (4/3) \pi \rho (R/2)^{3} = M/8$,
а центр его лежит на расстоянии $r - R/2$ от шарика массы $m$. Искомая сила, равная разности сил притяжения сплошного шара и меньшего шара, заполняющего сферическую полость, выразится так:
$F = G \frac{Mm}{r^{2}} - G \frac{(M/8)m}{(r-R/2)^{2}} = GMm \left [ \frac{7r^{2} - 8rR + 2R^{2}}{8r^{2}(r - R/2)^{2}} \right ]$.
Очень часто эту задачу решают неверно. Так как ошибка поучительна, мы приведем решение и разъясним, в чем ошибка.
Вычислялось положение нового центра масс свинцового шара после того, как в нем сделана полость; расстояние нового центра масс от центра шара можно определить из уравнения
$Mgx = (M/8)g(R/2 + x)$,
откуда $x = R/14$. Затем определялась сила притяжения свинцовым шаром с полостью (масса его равна $(7/8)M$) шарика массы $m$ так, как будто это две точечные массы, находящиеся на расстоянии $l + R/14$ друг от друга, т. е. по формуле
$F = G \frac{(7/8)Mm}{(l+R/14)^{2}}$.
Нетрудно видеть, что этот результат отличается от полученного нами решения. Они совпадают, только если $R \ll l$. Ошибка заключается в неправильном предположении, что шар с полостью притягивает массу $m$ так же, как его притягивала бы точечная масса той же величины, помещенная там, где находится центр масс шара с полостью.
Центр масс есть точка приложения равнодействующей всех параллельных сил, действующих на определенные элементы тела, причем каждая из этих сил пропорциональна массе данного элемента тела. Но силы, с которыми на массу $m$ действуют отдельные элементы шара, во-первых, не параллельны друг другу, так как все они направлены к точке $m$; и во-вторых, хотя они и пропорциональны массам элементов тела, но для элементов равной массы, вообще говоря, различны, так как зависят от расстояния данного элемента до точки $m$. Поэтому заменять силу тяготения данного тела силой тяготения точечной массы такой же величины, помещенной в центре масс данного тела, вообще говоря, нельзя, Только в специальных случаях, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними (т. е. когда тела можно считать материальными точками) или когда притягивающее тело особо симметричной формы, например однородный шар, можно вычислять силу тяготения этого тела, считая, что вся его масса сосредоточена в центре масс Этим последним обстоятельством мы и пользовались, когда вычисляли силы тяготения сплошного шара и заполняющего полость меньшего шара.
