Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1795
2017-01-04 
Даны два цилиндра одинаковых размеров и из одного и того же материала. Один цилиндр сплошной, другой сборный, состоящий из двух цилиндров, почти без зазора вложенных один в другой, причем трение между внешним и внутренним цилиндрами отсутствует (рис.). Какой из цилиндров будет быстрее скатываться без скольжения по одной и той же наклонной плоскости? Какое положение будет занимать при скатывании внутренний цилиндр, если он не совсем плотно входит во внешний?
Решение:
Качение без скольжения можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси О (образующей цилиндра, касающейся в данный момент наклонной плоскости) и поступательное движение этой оси. Вращающим моментом при этом является момент силы тяжести $mg$ относительно оси О (рис.). Массы цилиндров, а значит, и их силы тяжести равны, поэтому и вращающие моменты для обоих цилиндров равны. Однако их моменты инерции различны.
Во втором (сборном) цилиндре играет роль момент инерции лишь наружного цилиндра, так как внутренний цилиндр, вследствие отсутствия сил трения, не вращается. Очевидно, что момент инерции первого (сплошного) цилиндра больше, чем момент инерции внешнего полого цилиндра во втором случае. При одном и том же вращающем моменте угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции цилиндра. Поэтому угловое ускорение сборного цилиндра больше, т. е. он скатывается быстрее.
Положение внутреннего цилиндра в зазоре можно определить из следующих соображений. Если бы внутренний цилиндр скользил без трения по наклонной плоскости, то его ускорение под действием силы тяжести было бы бблъшим, чем ускорение центра скатывающегося цилиндра. Это видно хотя бы из того, что потенциальная энергия, которой обладает цилиндр в ноле тяжести, при скольжении превращается только в, кинетическую энергию поступательного движения, а при скатывании — в энергию и поступательного и вращательного движений. Следовательно, скорость, а значит, и ускорение поступательного движения при скольжении должны быть больше, чем при скатывании, Так как в случае сборного цилиндра оба они — и внешний и внутренний — опускаются с одинаковым ускорением, то, значит, внешний цилиндр замедляет движение внутреннего. А для этого сила $F$, с которой внешний цилиндр давит на внутренний, должна иметь составляющую $F_{1}$, направленную вдоль наклонной плоскости кверху, т. е. сила $F$ должна быть отклонена несколько назад от направления перпендикуляра к наклонной плоскости (рис.). Так как трения нет, то сила $F$ должна быть нормальна к поверхности цилиндров, и, чтобы при этом она была отклонена назад, цилиндры должны касаться друг друга по образующей, лежащей, во всяком случае, впереди радиуса, проведенного к точке касания внешнего цилиндра с наклонной плоскостью.
Даны два цилиндра одинаковых размеров и из одного и того же материала. Один цилиндр сплошной, другой сборный, состоящий из двух цилиндров, почти без зазора вложенных один в другой, причем трение между внешним и внутренним цилиндрами отсутствует (рис.). Какой из цилиндров будет быстрее скатываться без скольжения по одной и той же наклонной плоскости? Какое положение будет занимать при скатывании внутренний цилиндр, если он не совсем плотно входит во внешний?
Решение:
Качение без скольжения можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси О (образующей цилиндра, касающейся в данный момент наклонной плоскости) и поступательное движение этой оси. Вращающим моментом при этом является момент силы тяжести $mg$ относительно оси О (рис.). Массы цилиндров, а значит, и их силы тяжести равны, поэтому и вращающие моменты для обоих цилиндров равны. Однако их моменты инерции различны.
Во втором (сборном) цилиндре играет роль момент инерции лишь наружного цилиндра, так как внутренний цилиндр, вследствие отсутствия сил трения, не вращается. Очевидно, что момент инерции первого (сплошного) цилиндра больше, чем момент инерции внешнего полого цилиндра во втором случае. При одном и том же вращающем моменте угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции цилиндра. Поэтому угловое ускорение сборного цилиндра больше, т. е. он скатывается быстрее.
Положение внутреннего цилиндра в зазоре можно определить из следующих соображений. Если бы внутренний цилиндр скользил без трения по наклонной плоскости, то его ускорение под действием силы тяжести было бы бблъшим, чем ускорение центра скатывающегося цилиндра. Это видно хотя бы из того, что потенциальная энергия, которой обладает цилиндр в ноле тяжести, при скольжении превращается только в, кинетическую энергию поступательного движения, а при скатывании — в энергию и поступательного и вращательного движений. Следовательно, скорость, а значит, и ускорение поступательного движения при скольжении должны быть больше, чем при скатывании, Так как в случае сборного цилиндра оба они — и внешний и внутренний — опускаются с одинаковым ускорением, то, значит, внешний цилиндр замедляет движение внутреннего. А для этого сила $F$, с которой внешний цилиндр давит на внутренний, должна иметь составляющую $F_{1}$, направленную вдоль наклонной плоскости кверху, т. е. сила $F$ должна быть отклонена несколько назад от направления перпендикуляра к наклонной плоскости (рис.). Так как трения нет, то сила $F$ должна быть нормальна к поверхности цилиндров, и, чтобы при этом она была отклонена назад, цилиндры должны касаться друг друга по образующей, лежащей, во всяком случае, впереди радиуса, проведенного к точке касания внешнего цилиндра с наклонной плоскостью.
