Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1792
2017-01-04 
Маленький шарик подвешен в точке А на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). В какой точке траектории исчезнет натяжение нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса?
Решение:
Шарик сначала описывает четверть окружности радиуса, равного длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь, вбитый в стенку в точке О, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец, когда сила тяжести шарика будет сообщать ему центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности, натяжение нити обратится в нуль. Пусть это произойдет в точке C (рис.). Ее положение oпределим следующим образом. Составляющая силы тяжести по направлению радиуса равна $mg \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол, образованный нитью в этот момент. Далее, значение $v^{2}$ в точке С равно $2gH$, где $H = AB = AO — BO = l/2 — (l/2) \cos \alpha$. Поэтому центростремительная сила в точке С равна
$F_{ц.с} = \frac{mv^{2}}{R} = \frac{2m[l/2-(l/2) \cos \alpha]}{l/2} = 2mg(1- \cos \alpha)$.
Итак, в точке С имеем равенство $mg \cos \alpha = 2mg (1 — \cos \alpha)$, откуда $\cos \alpha = 2/3$. Далее шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{gl/3}$. В этом случае верхняя точка параболы находится выше уровня точки взлета на $(v \sin \alpha)^{2}/2g = (5/54) l$. Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки С на расстоянии $CB = (l/2) \sin \alpha = (\sqrt{5}/6) l$. Чтобы пройти по горизонтали такой путь, шарику потребуется время $t = CB/ c \cos \alpha = ( \sqrt{15}/4) \sqrt{l/g}$. За это время шарик по высоте пройдет путь
$(v \sin \alpha) t - gt^{2}/2 = - (5/96)l$,
т. е. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $(5/96)l$ ниже точки В.
Маленький шарик подвешен в точке А на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). В какой точке траектории исчезнет натяжение нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса?
Решение:
Шарик сначала описывает четверть окружности радиуса, равного длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь, вбитый в стенку в точке О, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец, когда сила тяжести шарика будет сообщать ему центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности, натяжение нити обратится в нуль. Пусть это произойдет в точке C (рис.). Ее положение oпределим следующим образом. Составляющая силы тяжести по направлению радиуса равна $mg \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол, образованный нитью в этот момент. Далее, значение $v^{2}$ в точке С равно $2gH$, где $H = AB = AO — BO = l/2 — (l/2) \cos \alpha$. Поэтому центростремительная сила в точке С равна
$F_{ц.с} = \frac{mv^{2}}{R} = \frac{2m[l/2-(l/2) \cos \alpha]}{l/2} = 2mg(1- \cos \alpha)$.
Итак, в точке С имеем равенство $mg \cos \alpha = 2mg (1 — \cos \alpha)$, откуда $\cos \alpha = 2/3$. Далее шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{gl/3}$. В этом случае верхняя точка параболы находится выше уровня точки взлета на $(v \sin \alpha)^{2}/2g = (5/54) l$. Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки С на расстоянии $CB = (l/2) \sin \alpha = (\sqrt{5}/6) l$. Чтобы пройти по горизонтали такой путь, шарику потребуется время $t = CB/ c \cos \alpha = ( \sqrt{15}/4) \sqrt{l/g}$. За это время шарик по высоте пройдет путь
$(v \sin \alpha) t - gt^{2}/2 = - (5/96)l$,
т. е. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $(5/96)l$ ниже точки В.
