2017-01-04
Через неподвижный блок с моментом инерции $I$ переброшена нить, на которой висят грузы разных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис.). Каковы будут силы натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ нити по обе стороны блока?
Решение:
Если бы блок был невесомым, то силу натяжения нитей по обе стороны блока следовало бы считать одинаковой (см. задачу 1720). Но так как блок обладает моментом инерции, нужно учесть, что нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, и разность сил натяжения будет создавать момент, вращающий блок. Пусть сила натяжения нити слева $T_{1}$, справа $T_{2}$. Тогда, применяя второй закон Ньютона к движению масс $m_{1}$ и $m_{2}$, получим уравнения
$m_{1}a = m_{1}g - T_{1}$, (1)
$-m_{2}a = m_{2}g - T_{2}$. (2)
При этом мы считаем положительным направление ускорения груза массы $m_{1}$, а поэтому ускорение $a$ во втором уравнении Взято со знаком минус.
Если угловое ускорение блока обозначить через $\beta$, причем $\beta = a/R$, где $R$ — радиус блока, то, применяя второй закон Ньютона к вращению, будем иметь
$I \beta = (T_{1} - T_{2})R$. (3)
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), найдем силы натяжения:
$T_{1} = m_{1}g \frac{2m_{2}+ I/R^{2}}{m_{1}+m_{2} + I/R^{2}}, T_{2} = m_{2}g \frac{2m_{1}+I/R^{2}}{m_{1}+m_{2}+I/R^{2}}$.
При $I = 0$ отсюда получаем $T_{1} = T_{2}$, что совпадает с результатом задачи 1720.