Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1770
2017-01-04 
Пользуясь классическими формулами скоростей двух шаров после упругого удара
$v_{1}^{ \prime} = \frac{(m_{1} - m_{2})v_{1} + 2m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{5}}, v_{2}^{ \prime} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2} + 2m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$,
где $v_{1}, v_{2}$ — скорости шаров до удара, $v_{1}^{ \prime}, v_{2}^{ \prime}$ — скорости после удара, показать, что скорость центра масс двух шаров после удара (независимо от характера удара) равна скорости центра масс этих шаров до удара.
Решение:
Используем классические формулы скоростей шаров после упругого удара:
$v_{1}^{ \prime} = \frac{(m_{1}-m_{2})v_{1} + 2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}, v_{2}^{ \prime} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2} + 2m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Скорость центра масс шаров после удара на основании формулы, полученной при решении задачи 1769, выразится так: $(m_{1}v_{1}^{ \prime} + m_{2}v_{2}^{ \prime})/(m_{1} + m_{2})$. Подставим в это выражение значения $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$. Тогда легко получим, что скорость центра масс шаров после упругого удара будет равна $(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2})/(m_{1} + m_{2})$, что совпадает со скоростью центра масс этих шаров до удара.
При неупругом ударе оба шара движутся вместе, т. е. с одной и той же скоростью. Поэтому их центр масс движется с этой скоростью, которая также выражается соотношением $(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2})/(m_{1} + m_{2})$. Следовательно, при неупругом ударе имеет место та же закономерность. Таким образом, импульс центра масс системы шаров до и после удара не изменяется. В частности, если до удара центр масс шаров покоился, то и после удара (как упругого, так и неупругогв) центр масс будет оставаться неподвижным. То, что справедливо для шаров, является справедливым для любой системы материальных точек.
Выведенную нами закономерность следует рассматривать как иную формулировку закона сохранения импульса, т. е. при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек сохраняет свой импульс, а следовательно, и свою скорость. Это положение иногда позволяет проще решать некоторые задачи механики. В дальнейшем мы это покажем.
Пользуясь классическими формулами скоростей двух шаров после упругого удара
$v_{1}^{ \prime} = \frac{(m_{1} - m_{2})v_{1} + 2m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{5}}, v_{2}^{ \prime} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2} + 2m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$,
где $v_{1}, v_{2}$ — скорости шаров до удара, $v_{1}^{ \prime}, v_{2}^{ \prime}$ — скорости после удара, показать, что скорость центра масс двух шаров после удара (независимо от характера удара) равна скорости центра масс этих шаров до удара.
Решение:
Используем классические формулы скоростей шаров после упругого удара:
$v_{1}^{ \prime} = \frac{(m_{1}-m_{2})v_{1} + 2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}, v_{2}^{ \prime} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2} + 2m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Скорость центра масс шаров после удара на основании формулы, полученной при решении задачи 1769, выразится так: $(m_{1}v_{1}^{ \prime} + m_{2}v_{2}^{ \prime})/(m_{1} + m_{2})$. Подставим в это выражение значения $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$. Тогда легко получим, что скорость центра масс шаров после упругого удара будет равна $(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2})/(m_{1} + m_{2})$, что совпадает со скоростью центра масс этих шаров до удара.
При неупругом ударе оба шара движутся вместе, т. е. с одной и той же скоростью. Поэтому их центр масс движется с этой скоростью, которая также выражается соотношением $(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2})/(m_{1} + m_{2})$. Следовательно, при неупругом ударе имеет место та же закономерность. Таким образом, импульс центра масс системы шаров до и после удара не изменяется. В частности, если до удара центр масс шаров покоился, то и после удара (как упругого, так и неупругогв) центр масс будет оставаться неподвижным. То, что справедливо для шаров, является справедливым для любой системы материальных точек.
Выведенную нами закономерность следует рассматривать как иную формулировку закона сохранения импульса, т. е. при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек сохраняет свой импульс, а следовательно, и свою скорость. Это положение иногда позволяет проще решать некоторые задачи механики. В дальнейшем мы это покажем.
