Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 177
2014-05-31 
Пусть состояние некоторого количества идеального одноатомного газа характеризуется на плоскости $p, V$ точкой А с координатами ($p_{1},V_{0}$). Постройте на этой плоскости график процесса, проходящий через точку А, при котором теплоемкость газа была бы отрицательной. Возможно ли реализовать такой процесс на практике?
Решение:
Определением теплоемкости С газа служит равенство
$C=\Delta Q / \Delta T$,
где $\Delta Q$ - количество теплоты, сообщаемое газу при изменении его температуры на малую величину $\Delta T$. Нам надо построить графики такого процесса, для которого $\Delta Q$ и $\Delta T$ имеют разные знаки и, следовательно, теплоемкость которого отрицательна.
Проведем через заданную точку А произвольную прямую. Она описывается формулой
$p=p_{0}+K(V-V_{0})$, (1)
где К - постоянная, имеющая смысл тангенса угла наклона прямой на графике.
Для одного моля идеального газа напишем уравнение состояния
$pV = \nu RT$. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем соотношения между бесконечно малыми изменениями объема, давления и температуры
$\Delta p = K \Delta V$, (3)
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$. (4)
Исключая $\Delta p$ из равенств (3) и (4) и используя уравнение прямой ($p,V$) находим связь изменений объема и температуры
$\Delta V = \frac{R}{p_{0}+KV_{0}} \Delta T$
Определим теплоемкость газа в процессе (1). По закону сохранения энергии
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2} R \Delta T + p \Delta V$. (6)
Подставив выражение для $\Delta V$ из (5) в формулу (6) и разделив обе части равенства на $\Delta T$, получаем теплоемкость
$C_{K}(p) = \frac{\Delta Q}{\Delta T}=\frac{3}{2}R + \frac{R_{p}}{p_{0}+KV_{0}}$, (7)
которая зависит от давления и от параметра К. Вблизи интересующей нас точки $p \approx p_{0}$
$C_{K}(p_{0}) \equiv C_{K}$.
Исследование знака теплоемкости $C_{K}$ в зависимости от К показывает, что она отрицательна при следующих значениях К:
$- \frac{5}{3} \frac{p_{0}}{V_{0}} < K < - \frac{p_{0}}{V_{0}}$.
Таким образом, любой процесс с одноатомным идеальным газом будет иметь отрицательную теплоемкость, если угол $\alpha$ наклона графика процесса на плоскости $p,V$ удовлетворяет неравенству
$- \frac{5}{3} \frac{p_{0}}{V_{0}} < tg \: \alpha < - \frac{p_{0}}{V_{0}}$.
Покажем, что реализация процесса с отрицательной теплоемкостью невозможна.
Допустим, что такая система существует. Приведем ее в равновесие с термостатом с температурой $T_{0}=p_{0}V_{0}/R$. В результате малых флуктуаций система может получить некоторое количество теплоты $\Delta Q$. При этом из-за отрицательной теплоемкости ее температура уменьшится. Поскольку тепло переходит от более нагретого тела к менее нагретому, начнется переход тепла от термостата к системе, что приведет к еще большему необратимому увеличению температуры. Процесс будет происходить до тех пор, пока система не перейдет из исходного равновесного, но не стабильного состоянии в другое, тоже равновесное, но уже стабильное состояние с положительной теплоемкостью. Следовательно, система с отрицательной теплоемкостью неустойчива - любые малые отклонения от равновесия приводят к переходу системы в другое состояние.
Пусть состояние некоторого количества идеального одноатомного газа характеризуется на плоскости $p, V$ точкой А с координатами ($p_{1},V_{0}$). Постройте на этой плоскости график процесса, проходящий через точку А, при котором теплоемкость газа была бы отрицательной. Возможно ли реализовать такой процесс на практике?
Решение:
Определением теплоемкости С газа служит равенство
$C=\Delta Q / \Delta T$,
где $\Delta Q$ - количество теплоты, сообщаемое газу при изменении его температуры на малую величину $\Delta T$. Нам надо построить графики такого процесса, для которого $\Delta Q$ и $\Delta T$ имеют разные знаки и, следовательно, теплоемкость которого отрицательна.
Проведем через заданную точку А произвольную прямую. Она описывается формулой
$p=p_{0}+K(V-V_{0})$, (1)
где К - постоянная, имеющая смысл тангенса угла наклона прямой на графике.
Для одного моля идеального газа напишем уравнение состояния
$pV = \nu RT$. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем соотношения между бесконечно малыми изменениями объема, давления и температуры
$\Delta p = K \Delta V$, (3)
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$. (4)
Исключая $\Delta p$ из равенств (3) и (4) и используя уравнение прямой ($p,V$) находим связь изменений объема и температуры
$\Delta V = \frac{R}{p_{0}+KV_{0}} \Delta T$
Определим теплоемкость газа в процессе (1). По закону сохранения энергии
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2} R \Delta T + p \Delta V$. (6)
Подставив выражение для $\Delta V$ из (5) в формулу (6) и разделив обе части равенства на $\Delta T$, получаем теплоемкость
$C_{K}(p) = \frac{\Delta Q}{\Delta T}=\frac{3}{2}R + \frac{R_{p}}{p_{0}+KV_{0}}$, (7)
которая зависит от давления и от параметра К. Вблизи интересующей нас точки $p \approx p_{0}$
$C_{K}(p_{0}) \equiv C_{K}$.
Исследование знака теплоемкости $C_{K}$ в зависимости от К показывает, что она отрицательна при следующих значениях К:
$- \frac{5}{3} \frac{p_{0}}{V_{0}} < K < - \frac{p_{0}}{V_{0}}$.
Таким образом, любой процесс с одноатомным идеальным газом будет иметь отрицательную теплоемкость, если угол $\alpha$ наклона графика процесса на плоскости $p,V$ удовлетворяет неравенству
$- \frac{5}{3} \frac{p_{0}}{V_{0}} < tg \: \alpha < - \frac{p_{0}}{V_{0}}$.
Покажем, что реализация процесса с отрицательной теплоемкостью невозможна.
Допустим, что такая система существует. Приведем ее в равновесие с термостатом с температурой $T_{0}=p_{0}V_{0}/R$. В результате малых флуктуаций система может получить некоторое количество теплоты $\Delta Q$. При этом из-за отрицательной теплоемкости ее температура уменьшится. Поскольку тепло переходит от более нагретого тела к менее нагретому, начнется переход тепла от термостата к системе, что приведет к еще большему необратимому увеличению температуры. Процесс будет происходить до тех пор, пока система не перейдет из исходного равновесного, но не стабильного состоянии в другое, тоже равновесное, но уже стабильное состояние с положительной теплоемкостью. Следовательно, система с отрицательной теплоемкостью неустойчива - любые малые отклонения от равновесия приводят к переходу системы в другое состояние.
